ド・モルガンの法則の自然演繹

ド・モルガンの法則

論理包含の法則からドモルガンの法則を導く

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2023.01.11

ド・モルガンの法則

A∨B⇔B∨A
を導きたいってこどネットを徘徊していたところ「論理和の交換法則はこの論理展開で行くんじゃない？」とヒントになりそうなものを発見しましたので共有します。

ド・モルガンの法則の自然演繹です。

1.A,B(仮定1,2)
2.A∧B(∧導入)
3.¬(A∧B)(仮定3)
4.⊥
5.¬A(¬導入,仮定1キャンセル)
6.¬A∨¬B(∨導入 )
7.¬(¬A∨¬B)(仮定4)
8.⊥
9.¬B(¬導入,仮定2キャンセル)
10.¬A∨¬B(∨導入)
11.⊥
12.¬(¬(¬A∨¬B))(¬導入,仮定4キャンセル)
13.¬A∨¬B(¬¬除去)
14.¬(A∧B)→¬A∨¬B

推論規則に従いド・モルガンの法則
¬(A∧B)⇒¬A∨¬B
が演繹されています。

矛盾と否定の認識

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2023.04.13

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2023.04.15

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2023.04.14

補足

1.は仮定1,2を立てています
※この仮定は後々解消します。
2.1の仮定を元に∨導入
3.新たに仮定¬(A∨B)を導入
※この仮定がド・モルガンの法則の前件命題かつ仮定1を解消する
4.仮定との矛盾を演繹し
※演繹に矛盾。規則通りに仮定を解消し¬導入
5.¬Aが演繹
6.論理和導入と仮定4の導入
※仮定4は解消される
7.矛盾を演繹
8.仮定2を解消し¬導入
9.∨導入
10.仮定4を解消し矛盾を演繹
11.残る仮定3に¬導入
12.二重否定の除去
13.仮定3と結論を繫げる⇒導入

ド・モルガンの法則が導けました。

面白いと思ったのは前提と仮定の立て方。
一見すると無関係の前提を立て、そこから仮定の導入、解消を繰り返して上記のド・モルガンの法則の前件命題を、続いて後件命題を導いています。

なんとなくですが、
A∨B⇔B∨A
は上記のド・モルガンの法則のような論理展開になる気がするんですよね。