論理包含の法則からドモルガンの法則を導く

暇つぶしに見て

2023.01.112023.02.28

下のリンクの続き。
論理包含の定義から導き出せる性質（法則）を考えていきます。

論理包含の法則
1. 論理包含の定義
2. ド・モルガンの法則

論理包含の法則

論理包含の定義

前回学んだ定義の復習。
集合を一般化したような概念で論理的に結論を導く方法として定義され、現時点では上手く行っているようです。
集合論の空集合という概念も論理包含の定義によって定義されているみたいですね。

【定義】
論理包含（ろんりほうがん、含意（がんい）、内含、英: implication、IMP）は、第1命題が偽または第2命題が真のときに真となる論理演算である。
Wikipedia

この定義を元に性質を明らかにしていきます。
Wikipediaの記事を参考に。

【論理包含の法則】
古典論理においては、否定 ¬ と論理和 ∨ で表せる。冒頭の定義はこの式を日本語にしたものである。$\displaystyle (P\rightarrow Q)\Leftrightarrow (\lnot P\lor Q)$

なお、直観主義論理においては左向きの矢印しか成り立たない、つまり両辺は等価ではない。

また、古典論理ではド・モルガンの法則により、次のように変形できる。
$\displaystyle P\rightarrow Q)\Leftrightarrow \lnot (P\land \lnot Q)$

ほかに、次のような性質がある。
・$\displaystyle P\rightarrow P$（同語反復）
・$ \displaystyle P\rightarrow (P\lor Q)$
・$ \displaystyle (P\rightarrow Q)\rightarrow (\lnot Q\rightarrow \lnot P)$ （対偶の法則）
・$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\rightarrow (P\Leftrightarrow Q)$ （反対称律、同値）
・$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R)\rightarrow (P\rightarrow R)$（推移律、三段論法）
Wikipedia

$\displaystyle (P\rightarrow Q)\Leftrightarrow (\lnot P\lor Q)$
こいつからやっつけます。
気をつけなければならないのは「～ならば」は数学の論理包含という演算であって、一般的に使われる曖昧な意味ではないこと。定義の厳密化の過程で一般的な意味から乖離したのだと思います。
左辺は論理包含は定義通り「前提が偽」か「結論が真」の時のみ「真」を返し、それ以外は「偽」を返します。

論理式の右辺は一見複雑そうに見えますが、論理包含の定義を説明しているにすぎません。
左辺の論理包含の定義と入力を受けた結果が同じになるように右辺の演算を定義しただけです。
以下それを確認していきます。

【論理和】
数理論理学において論理和（ろんりわ、英: logical disjunction）とは、与えられた複数の命題のいずれか少なくとも一つが真であることを示す命題を作る論理演算である
Wikipedia

鍵括弧みたいな「$\lnot$」は否定を表し「Pである」の真理値を反転させる演算です。
論理和はPとQのいずれかが真だった時に真を、いずれも偽だった場合のみ偽を返します。
したがってPが真、Qが偽だった場合にのみ偽を返し、それ以外の組み合わせは真を返す演算になっています。
入出力の結果は下の表の通り。
PとQに入力した結果が常に論理包含と同じ結果を返す演算になっています。

[table id=implication /]

【ド・モルガンの法則】
また、古典論理ではド・モルガンの法則により、次のように変形できる。
$\displaystyle (P\rightarrow Q)\Leftrightarrow \lnot (P\land \lnot Q)$
Wikipedia

【論理積】
数理論理学において論理積（ろんりせき、英: logical conjunction）とは、与えられた複数の命題のいずれもが例外なく真であることを示す論理演算である。合接（ごうせつ）、連言（れんげん、れんごん）とも呼び、ANDとよく表す。
Wikipedia

次に
$(\displaystyle P\rightarrow Q)\Leftrightarrow \lnot (P\land \lnot Q)$
の演算を見ていきます。

「$\lor$」は論理積という入力された命題のいずれもが真の場合に真を、それ以外は偽を返す演算です。

$\lnot (P\land \lnot Q)$
否定演算子が着いているので（）内の演算は最終的には反転させられます。
（）の中のPの値とQを反転した値が共に真の場合にのみ（）内の式はは真を出力します。
つまり、最終的な演算の結果はPが真かつQが真の場合にのみ偽を、それ以外は真を返します。
※（）内は最終的に否定演算により反転させられる

Wikipediaから引用したド・モルガンの法則の一行目は
PかQが真の時は偽を返し、PとQが偽の時に真を返します演算です。
二行目は
PとQが真の時に偽を返し、それ以外は真を返します。

ド・モルガンの法則

任意の命題
$\displaystyle P,Q\in \{\bot ,\top \}$に対して$\displaystyle \neg (P\lor Q)=\neg P\land \neg Q\,,$$\displaystyle \neg (P\land Q)=\neg P\lor \neg Q$

が成り立つ。これをド・モルガンの法則という^[1]。

より一般的な法則として、任意の n 個の命題
$\displaystyle P_{1},P_{2},\cdots ,P_{n}\in \{\bot ,\top \}$ に対して
$\displaystyle \neg \left(\bigvee _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigwedge _{i=1}^{n}\neg P_{i}\,,\quad \neg \left(\bigwedge _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigvee _{i=1}^{n}\neg P_{i}$

が成り立つ^[1]。
Wikipedia

次はド・モルガンの法則を一般化して、「n個の命題P」の法則について考えてみます
論理和は両辺が偽の時にのみ偽を返しますので、下の式の左辺は全ての命題が偽の時に真を返します。
Pが全て偽である場合、右辺はそれを反転させるかつ論理積なので、真を返します。
$\displaystyle \neg \left(\bigvee _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigwedge _{i=1}^{n}\neg P_{i}$

左辺は論理積なので命題Pが全て真の時に偽を返します。
右辺はPが真なら偽を返します。
$\displaystyle \quad \neg \left(\bigwedge _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigvee _{i=1}^{n}\neg P_{i}$

以上ド・モルガンの法則が成り立つことの説明でした。

【感想】
集合という概念の根底には上記のような論理学的な思想が流れていることが分かりました。

集合は高校数学だとものの集まりとして素朴に教えられるので、「どうしてそんなことを考える必要があるのか」って疑問が解決せず数学を学ぶことが苦痛になりました。意味不明な設定を覚えたところで何かの役に立つとは思えませんでしたからね。
数学を学ぶことの意味と威力を生徒たちに伝える能力のある先生が求められますね。

ボクシングの面白さを伝えるのはボクシングが好きな人にしかできませんから、仕事として先生をしているのではなく、数学の面白さを知っていてそれを伝えたくて仕方がないって先生に出会いかたった。今後は少しづつ本当に好きな人がそれを教える社会に変わっていくのでしょうね。僕なんてまさにそうで、ボクシング好きが高じてボクシング技術論おじさんやっています。
金が目的なら続きません。
古代ギリシャはYoutubeのような公共の場があり、そこで論を戦わせることで生徒を集めていたようです。教育は原点に戻っていくのかもと学びながら感じます。

学習の目的や意味を決めず「楽しいからやる」といった興味に引き寄せられるような学びを促すことが理に適っている気がします。
目的や目標を設定せず走り出すことは一見すると非合理なのですが。