素人が数学に挑戦 論理記号の翻訳

股関節おじさんの勉強部屋

群論って森に迷い込みました。
道しるべとなる論理記号を学びます。

僕は基本的にWikipediaを読んで、分からないことをネットで分かるまで検索するって方法で勉強しています。
教科書でやろうとしましたんですが、どこまでも掘り下げないと気が済まないので全て教科書で学ぼうとすると経済的、時間的な制約が大きいと感じ現在のスタイルに落ち着いています。
今のところはWikipediaを教科書にしても特に不自由なく学べてはいます。

とりあえず実数から理解しようとWikipedia実数の項目から進めていたんですが、気がついたら群論って森に迷い込んでいました。
群論は数よりもっともっと抽象的な論理を扱うような話が多く論理的思考能力が鍛えられます。

だらだらと文章を書かずに論理構造を論理記号によって簡潔に記述しています。というわけで今まで漠然と理解していた論理記号について学んでいきます。
よく使われるものだけに限ります。

数学って論理の組み立て方を学んでいきます。

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論理記号

~は~に属する

$x \in X$
xは集合Xの要素の一つだよ、です。

~はに含まれる

$\mathbb N \subset \mathbb Z$

自然数の集合Nは実数の集合Zに含まれるよ、です。

全称記号

$\forall x$
「全てのxについて~」とか「全てのxが~」を意味します。

存在記号

$\exists x$
「yが存在する時~」みたいな意味で使われます。

自然数全体を$\mathbb N$とします。
この時、
$\forall x \in \mathbb N,\exists y \mathbb N,x < y $
翻訳すると、任意(全て)の自然数xに対して x < y となるような自然数yが存在する。
この命題は真となります。
自然数は無限に存在するのでどのxを選んでもそれよりyを選べばいいだけです。

次はこれ。
$\exists y \in mathbb N,\forall x \in mathbb N,x < y$
これは上の命題の順番が入れ替わっているだけなんですが、意味が大きく変わります。
翻訳すると、任意のxより大きくなるようなyが存在する、です。
別の言い方だと全てのxの頭を抑えつけるようなyが存在する、です。
これは偽です。
何故なら、自然数は無限に存在するのでどのyを選んでもそれより大きなxが常に存在しています。

順番が変わるだけで意味が変わります。

~となるような

$s.t.$はsuch that の略記です。
文字通り「~となるような」という意味です。

$\exists x \in mathbb N s.t. f(x) = 0$
f(x)が0となるような自然数xが存在している、です。
日本語に訳すと順番が逆になるのでややこしいですが、論理的には同じです。

~ならば

$A \Rightarrow B$
AであるならばBである、です。
逆、BならばAであるは成立しません。
$人間 \Rightarrow 動物$
人間は動物である、は成立しますが逆は成立しません。

二つが成立する場合は

~ならば、且つ

$A \Leftrightarrow B$
AならばB、かつBならばA。
つまり
A = B
同値を意味します。

よく見るのはこの辺なので今はこんなもんにしておいて、分からなくなるたびに更新していきます。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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