かっこいいから、それだけ。素人が数学に挑戦

股関節おじさんの勉強部屋

趣味のコンピューターとかプログラミングとかSF小説、アニメ、映画の話などなど、ボクシングと無関係のことを時々更新していきます。

第一回は数学。

何故数学をやるのか、ですか。
頭がいいって言われたいし、そう自分を信じたいからです。
役に立つかどうかは二の次。

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数学で混乱しないために

数学って何が基本なのか、何をしているのかっていう一番大切なところを学校で教えてくれないので、学んでいることの全体像が全く見えずに一体何を何のために勉強しているのか分からないまま混乱して、そのまま終わってしまったんですよね。

仕舞いには「数学は人生の役に立たない!」って結論して逃げてしまいました。
心当たりある方も多いと思います。
しかしながら心の中では「本気を出せば頭の良い俺は数学ができる」なんて、子供のような願望だけは確かに抱いている。

数学ってのは高度な論理性が必要な、学問の中でも特に重要度の高いものだとなんとなく思ってはいるんだけど、理解できない頭の悪い自分を守らなきゃならんから、数学は必要ないって結論するしかない。認知的不協和ってやつです。

僕はこの悲しい感情論に終止符を打ち、同時に高度な論理性を養おうと思います。

ところでなんですが、学生の頃に数学が理解できなかったのは、数学っていう手続きが導き出したいことの全体像が見えなかったからじゃないですか?
数学ってものが一体全体何をしてるのか。その土台を分かっていないことには学習する意味が薄れます。なのでそこから理解してみようと思います。

義務教育ではネイピア数とか複素数とかややこしい概念が突然出てきて、「はい、使って!」って先生から言われます。

それが必要な理由を説明してくれないから、ただ言われた通りの手続きを踏んで答えらしきものを求めるしかなくて。

で、答えらしきものに再び頭を悩まされる。

この悪循環があるから学習しようって意欲が削がれていくと思うんです。

だからまずは数学って一体何をしているの?ってことから始めようと思います。

数学が記述したいもの

まずは数学の最下層にある、それを支える土台から理解していきます。

命題

真偽の性質(真理値)を持つ文章や式。

「数学によって正しいか謝りかを確かめたいもの」と言い換えられます。

公理

命題を求めるための前提となる世界観、体系。
無条件に正しいと認めた、この世界を理解するための枠組み。

そうであると仮定しなければ話が進まない根本であるから「証明が…」とかの話ではない。
例えば点、線、面がこの世界には存在するとか、1の次は2で、数はずっと続くとか、a=b なら、a+c = b+cであるとか。当たり前として受け入れられているもの。

あくまでも論理を構築するための「仮定」。
確認されていないが、1+1 = 100になる矛盾もこの世界で許されているかもしれない。
もしそうであった場合、世界観「公理」の更新が必要になる。

定義

公理の世界観を元に厳密に定められた概念。

そう決めると話がしやすいからそう決めたもの。

公理の世界を説明するために「あると便利な道具」として作り出したもので、人間に都合のいい形をしている。
ぱっと見ると「なんで?」と思うことがあるが、「その形が便利だから」が答えになる。

ある点からの距離が等しい点の集合が形成する曲線を円と呼ぶとか。
異なる場所にある3点を結ぶ同一直線で、その内角の和を180°とするものを三角形と呼ぶとか。
世界を理解するために使う道具、概念として人間が勝手に用意したもの。

定理

公理を前提とした演繹手続きによって導きだされる命題。

三角形の二辺の長さから残りの一辺を求めることができるというのは、公理が正しいと認めた世界では真となる命題。

仮定した公理の世界観を元に導き出した世界の性質っていうと分かりやすい。

まとめ

「世界はこうなっている」と仮定した公理を元に、様々な命題を解いて、この世界の性質(定理)を導き出し、理解しようとするのが数学なんですかね。

複素数やネイピア数、円周率、対数みたいな意味不明に見えた概念は人間が勝手に作ったもの。
この世界を理解し、操りやすいように形を整えた。

数学に興味があったのに逃げてきたみんな、一緒に頭を鍛えぬこうぜ。

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