数学

集合の双対上の我流で「双対関係」に文脈を与える試みの続き。双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対...

双対の文脈を読解してみる再び双対と遭遇。こいつは強敵。そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価される過...

A,B,C(仮定)A→A∨(B∨C)(∨導入→導入)B→A∨(B∨C)(∨導入→導入)C→A∨(B∨C)(∨導入→導入)A∨B(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)A∨B→A∨(B∨C)(→導入)(A∨B)∨C(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)(A...

参考書。勝手に解釈するとA〜Bは対応関係。一対一関係。集合A,Bの濃度a,bの定義。A〜B₁,B₁⊆Bという規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。上で定義した関係は|A|≤|B|と別の記号へ変換可能。濃度の...

集合Aの部分集合とはすなわちべき集合とその濃度。二つの要素を持つ集合のべき集合の要素数はA=aがあるB=bがあると定義すると要素の組み合わせは四通り(A,¬B)(¬A,B)(¬A,¬B)(A,B)べき集合の任意の要素xについては常に、「ある...

数学の問題を解いたり、パズルを組み立てたり、詰将棋をすることは好きですか？あるいは規則的な動きや形にばかり目が行くとか。話の雰囲気よりも論理的な接続関係に興味が向かうとか。だとすれば、あなたはパターンシーカーかもしれません。上の書籍では、人...

上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)7.(仮定)...

公理と証明と認識この定義は発想が面白く、また根底にある考え方が有用だと感じたので共有します。これは極めて抽象的な文なので、「直線」を「親子関係」、「点」を「親」「子」と文字を置き換えても文が成立します。抽象度を高めて共通項以外を削ぎ落とした...

最近、論理パズルにハマっています。良い問題なら一問で数時間、数日遊べるのでコスパ最強ですよ。紹介した書籍にはそれが何十問もあります。で、数百円。居酒屋で酒を飲むより、漫画を買うより、遥かにコスパが良い。しかも論理性も鍛えられる。遊戯王にハマ...

数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。公理をペアノの公理という。0 ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば S(n) ...

数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造と...

我流集合論人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x))集合 A の要...