暇つぶしに見て アルキメデスの性質と全順序
任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。 x≦y∨y≦x(完備律) また、加法は≦関係を保存する。 0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律) すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつける...
数学
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て アルキメデスの性質その三
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y. ウィキペ...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質 その二
数の大きさ ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx 自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。 ∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx 自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないこ...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質
アルキメデスの性質 順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x...
暇つぶしに見て 有理数の間には無理数がある
無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。 ホントかよと。 散歩中にその証明を閃きました。 任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。 準備 0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)① ①は加法律から導出できる加法の性...
暇つぶしに見て ド・モルガンの法則の自然演繹
ド・モルガンの法則 自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と。 形式主義vs直観主義。これで本気で喧嘩できる情熱すごい。 数学の哲学において、直観主義（ちょっかんしゅぎ、英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく...
暇つぶしに見て 無理数と有理数の性質
有理数×無理数=無理数 有理数の加法と乗法の閉性より 有理数×有理数=有理数 有理数+有理数=有理数 となります。 有理数×無理数=有理数 だと仮定します。 無理数=有理数/有理数(乗法逆元) 以上は有理数の演算が閉じている要請を満たしてい...
暇つぶしに見て 有理数は循環少数
有理数は循環小数 見出しの証明。 有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明も...
暇つぶしに見て 乗法と乗法逆元の性質
積の大小関係 乗法の大小関係の性質。 既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。 0<x≤y≤z(仮定) 0≤x(z-y)(乗法律と①) 0≤xz-xy(分配法則) xy≤xz-xy+xy(加法律) xy≤xz(単...
暇つぶしに見て マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス 0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。 -1･-1=1の証明。 -1+1=0(加法逆元) -1+-(-1)=0(加法逆元) -(-1)=1(加法一意性)① -a･-b(仮定) -1･-1･a...
暇つぶしに見て 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。 加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。 0≤x⇒-x≤0 0≤x(仮定) (-x)+0≤(-x)+x(加法律) -x≤0(単位元と逆元) 0≤x⇒-x≤0(含意) xが0以上な...
暇つぶしに見て 任意の数の平方は0以上
x≠0⇒0<x² プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。 マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。 0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。 従って0より小さい平方の証明だけをやりま...