暇つぶしに見て 頭の体操 その三
対偶 A={(x,y)∈ℝ²|y³+yx²≤x³+xy²} B={(x,y)∈ℝ²|y≤x} ⊂集合を論理の包含関係→⇒と解釈します。 y³+yx²≤x³+xy²(仮定) y(y²+x²)≤x(x²+y²)(分配法則) y(x²+y²)≤x...
数学
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 二次元の双対
集合の双対 上の我流で「双対関係」に文脈を与える試みの続き。 双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（...
暇つぶしに見て 双対と概念の創造
双対の文脈を読解してみる 再び双対と遭遇。こいつは強敵。 そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。 字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。 何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価...
よもやま話 バカの法則その三
バカの法則はその三へ突入。 とは言っても「一面的な認知≒バカ」と、立体的な構造の一面だけを切り取って話しているだけなので、厳密には同じ話になっています。お気づきとは思いますが。 例えば、仏教と数学は認識の話であり、それらは、それを記述する言...
暇つぶしに見て 集合の濃度
参考書。 勝手に解釈すると A〜B は対応関係。一対一関係。 集合A,Bの濃度a,bの定義。 A〜B₁,B₁⊆B という規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。 上で定義した関係は |A|≤|B| と別の記号...
よもやま話 規則性へ強い関心を向ける人種
数学の問題を解いたり、パズルを組み立てたり、詰将棋をすることは好きですか？または規則的な動きや形にばかり目が行くとか。話の雰囲気よりも論理的な接続関係に興味が向かうとか。 だとすれば、あなたはパターンシーカーかもしれません。上の書籍では、人...
暇つぶしに見て 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。 以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。 1.(仮定) 2.A∨B(∨導入) 4.A∨C(∨導入) 5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入) 6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)...
よもやま話 公理と証明と認識
公理と証明と認識 この定義は発想が面白く、また根底にある考え方が有用だと感じたので共有します。 これは極めて抽象的な文なので、「直線」を「親子関係」、「点」を「親」「子」と文字を置き換えても文が成立します。 抽象度を高めて共通項以外を削ぎ落...
暇つぶしに見て 3✕3魔法陣
最近、論理パズルにハマっています。 良い問題なら一問で数時間、数日遊べるのでコスパ最強ですよ。紹介した書籍にはそれが何十問もあります。で、数百円。 居酒屋で酒を飲むより、漫画を買うより、遥かにコスパが良い。しかも論理性も鍛えられる。 遊戯王...
暇つぶしに見て 形式的に定理を導く練習
数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。 公理をペアノの公理という。 0 ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0 任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば ...
暇つぶしに見て 公理主義と無定義用語へのフワッとした感想
数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。 僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造...
暇つぶしに見て 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...