数学とか べき乗の指数法則 $a^{m}≠a^{n}→m≠n$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
自然演繹
数学とか 数学とか 指数の法則 底を共有する指数の大小関係
指数の性質 指数の性質を考えます。 (仮定) ⊥(正と負の乗法) ¬(x<0∧0<y→0<xy)(背理法) ¬(¬(x<0∧0<y)∨0<x･y)(→言い換え) ¬(0<x∨y<0)→x･y<0(ド・モルガンの法則) x<0∧0<y→x･y...
よもやま話 技術論との付き合い方
YouTubeのボクシング解説系を見る時の注意。 帰納法と演繹法 要点が掴みやすいように具体的に説明します。 「強いボクサーの骨格には共通点がある(帰納法)」。 上の主観的な観察が事実であると仮定し、客観的な事実のみで裏付けを行う(演繹法)...
数学とか ド・モルガンの法則の自然演繹
ド・モルガンの法則 自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と。 形式主義vs直観主義。これで本気で喧嘩できる情熱すごい。 数学の哲学において、直観主義（ちょっかんしゅぎ、英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく...
数学とか 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。 以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。 1.(仮定) 2.A∨B(∨導入) 4.A∨C(∨導入) 5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入) 6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)...
数学とか 矛盾からは何でも導ける証明
ふと、「矛盾からはどんな命題を導いても良い」と言える推論はどんなだろなと。 （数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある Wikipedia そのような規則があると勝手...
数学とか 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...
数学とか 同値関係の議論
同値関係は長濱式では下のように定義しています。前提の同値関係が成立しない場合の議論はどんな風に結論されるのかなあと。 同値関係 A⇔B≔A→B∧B→A≔は定義するの記号。 ((A→B)→T∧(B→A)→T)→T(前提)¬((A→B)→T∧(...
未分類 論理和と論理積の分配法則 その4
引用の記事の続きです。(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)とA∧(B∨C)→(A∧B)∨(A∧C)を証明して必要十分条件が成り立ちますが、後者の証明がされていませんでした。 というわけで下の同値関係の証明に挑戦。A∧(B∨C)⇔(A∧B)...
数学とか ∀と∃の交換律
基本的に我流定義なので、∀と∃の順番は気にしてませんでしたが「ちょっと待って、これ大丈夫？」と不安になったので ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)⇔∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y) が成り立つのか確認します。 ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)...
数学とか 我流負数定義の修正
前回に定義した負数の乗法は自然数の乗法の定義でいけるんじゃないか、と閃いたので試してみます。あとはマイナス×マイナスに関する乗法も定義しました。 a×-(s(0))(前提)a×s(0)×-1(定義)((a×0)+a)×-1(定義)(0+a)...
数学とか 我流除法と分数の定義
我流除法の定義が人の認識通りに運用できるかテストします。 我流除法テスト 我流定義a/1=aa÷b=a/b(a×c)÷(b×c)=a/b 以下テスト。 10÷5(前提)((2×0)+2+2+2+2+2)÷((5×0)+5)(乗法定義)((2...