写像

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順序集合の定義の気持ち

大小関係について考えていたら、=と>から受ける印象って異なるよなあ、となったので、その理由を考えました。 =で結ばれる関係は組み合わせ方次第ですが、一対一対応の写像だと言えます。 【写像】集合 A の各元に対してそれぞれ...
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同値関係について、また考える

既に同値についてはどんな関係なのかを色々考えてきましたが、除法や減法のように我流で定義してみようと思います。 と言っても一度きちんとした定義は学んでいるので、なぜそのような定義になったのか?に個人的な文脈を与えます。 ...
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大小関係の雰囲気

まだ論理学の範疇をウロウロしてる段階ですが、参考にしている本の中で大小関係の説明があったので、その文脈で大小関係を僕が解釈できるか挑戦します。 大小関係の雰囲気だけ 加法とし大小関係 本の中では下のような論理式で定義され...
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含意と因果関係と写像

含意は因果関係 含意の認識 論理学や数学の基礎を成す人の認識について考えていきます。 含意「aならばb」は因果関係とみなすことができます。「殴られた→痛い」という含意は「殴られた」という命題が真なら「痛い」という命題も真...
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集合の濃度と全単射

とりあえず1か月振りなのでこれまでの流れを復習します。 ここまでの流れ。集合について学んでいると同値関係って言葉が頻出したので、かなり脱線して「同値」って何ぞやってことをWikipediaの記事を潜って学んでいました。同値類は反射律...
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二項演算とマグマと写像

プログラミングでもやっていない限り「演算」は日常的には使いませんが、かっこい言葉ですよね。代表的な演算は四則演算と呼ばれ、+,-,×,÷の記号で表されます。 【二項演算】集合の一つの元(幾つかのものの組であってもよい)に他の一つの...
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直積集合と関係と写像のドツボ

「関係」という概念のドツボにハマりました。まあでも、ここを走り抜けば何か見えてくるはず。 「関係」「直積集合」「写像」のそれぞれの概念を定義する議論は理解していると僕は思っています。なので、それぞれを眺めているだけなら何かを感じるこ...
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写像は関係の一種?

集合論の理解を進めようとする度に起こる僕の混乱を共有します。 「『=』は集合AとBの対応を表す写像なんだ!」と納得して順序関係に進もうと「≦」を見た瞬間に気が付きましたが、大小”関係”を表す「≦」は写像の定義満たしてません。 ...
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集合と写像の個人的なイメージ

「=」の数学的な概念は理解できました。しかし、とてつもない違和感を覚えます。 それは「=」の数学的に定義された概念と僕が日常的に使用している「=」に抱く主観的な意識内容である観念が一致していないからです。 数学の「=」の概念は...
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数学は何をしているの?何が学べるの?何が楽しいの?

今回は僕が独学してハマった数学の僕なりの面白さ、数学が本質的に何をしているのか?という僕なりの解釈をお話します。 そのとっかかりとして「演算」という概念の話をします。 演算の定義 数学のやりたいこと 数学は真理を解...
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自然数の演算の閉性

自然数が群であることを証明します。 ここまでの道筋としてはこんな感じ。「数について学ぼう→n次元数空間を知る→n次元数空間はベクトル空間の概念が適用される→ベクトル空間の線形変換には行列の概念が必要→行列積は連立方程式の応用→演算て...
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素人が数学に挑戦 自然数の定義

群の分野の続きです。 自然数 頭では群を抽象化し厳密に定義することの意味は理解できていますが、その威力を体感していないので、なんだか群の輪郭がぼやけています。というわけで簡単に群にはどんなものがあるのか見ていきます。 定...
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