股関節おじさんの勉強部屋 自然数の加法の定義から結合法則を導く
順序集合（関係）の定義を学んでいるのですが、反射律やら推移律やら反対称律やら。「相等」関係をやった時にも出てきた概念です。「意味は分かる、だけどその心は？」って感じです。 というわけでネットを徘徊。少しづつ「もしかして『順序』の概念は自然数...
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股関節おじさんの勉強部屋 直積集合と関係と写像のドツボ
「関係」という概念のドツボにハマりました。まあでも、ここを走り抜けば何か見えてくるはず。 「関係」「直積集合」「写像」のそれぞれの概念を定義する議論は理解していると僕は思っています。なので、それぞれを眺めているだけなら何かを感じることはない...
股関節おじさんの勉強部屋 写像は関係の一種？
集合論の理解を進めようとする度に起こる僕の混乱を共有します。 「『=』は集合AとBの対応を表す写像なんだ！」と納得して順序関係に進もうと「≦」を見た瞬間に気が付きましたが、大小”関係”を表す「≦」は写像の定義満たしてません。 写像の定義では...
股関節おじさんの勉強部屋 集合と写像の個人的なイメージ
「＝」の数学的な概念は理解できました。しかし、とてつもない違和感を覚えます。 それは「＝」の数学的に定義された概念と僕が日常的に使用している「＝」に抱く主観的な意識内容である観念が一致していないからです。 数学の「＝」の概念は僕の意識内にあ...
股関節おじさんの勉強部屋 「等しい（=）」って、何…？
数学の集合論を学んでいると「同値」て概念が気になって、寄り道して同値の議論を眺めていたら「＝」って記号が気になり始めて、「そう言えば『＝』って論理記号は当たり前のように使っているが、それはどう定義されているのだろう」とWikipediaを調...
股関節おじさんの勉強部屋 数学の「関係」の定義
集合論を進めていると「同値」って言葉が頻繁に出てきます。a = b のことです。義務教育で習いましたよね。日常生活でも何となく利用しているありふれた概念なので、深くその定義について考えてはいなかったのですが、ふと「そういえば『同値』って何....
股関節おじさんの勉強部屋 素朴集合論の集合の定義
集合と元の素朴な定義について学んでいきます。公理的集合論では厳密に集合を定義するようですが、慌てずに素朴集合論の定義から学びます。 集合 集合の定義 けっこうあっさりしていて「集合とはものの集まりである」です。整数、自然数、有理数などが集合...
股関節おじさんの勉強部屋 素朴集合論とラッセルのパラドックス
数学を学んでいる時間が今は一番楽しくて、息抜きとして心が疲れた時にだけやっていいって決めてはいるのですが、一度始めると5時間とかはあっという間で。学生の頃に目覚めてくれればね。よかったのに。 ボクシングを考えるのが疎かになっています。頭の片...
股関節おじさんの勉強部屋 直積の定義と例
直和の定義の次は直積を見ていきます。忘れないようにメモしておきますが、これは整数の定義を理解したいというのが発端となっています。 直積 概要 数学において、集合のデカルト積（デカルトせき、英:Cartesian product）または直積...
股関節おじさんの勉強部屋 直和の定義と例
自然数に続いて整数の定義しようと思ったら、そのためには同値類という集合の分類を定義する必要があり、さらにそれを定義するためには直和と直積という定義を学ばなきゃならんようなんで、やっていきます。 直積、直和という概念は物理学にも応用されている...
股関節おじさんの勉強部屋 数学は何をしているの？何が学べるの？何が楽しいの？
今回は僕が独学してハマった数学の僕なりの面白さ、数学が本質的に何をしているのか？という僕なりの解釈をお話します。 そのとっかかりとして「演算」という概念の話をします。 演算の定義 数学のやりたいこと 数学は真理を解き明かす学問で、そのための...
股関節おじさんの勉強部屋 自然数の演算の閉性
自然数が群であることを証明します。 ここまでの道筋としてはこんな感じ。「数について学ぼう→n次元数空間を知る→n次元数空間はベクトル空間の概念が適用される→ベクトル空間の線形変換には行列の概念が必要→行列積は連立方程式の応用→演算て何→集合...