股関節おじさんの部屋

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素人が数学に挑戦 コーシー列

前回は「ボルツァーノワイエルシュトラスの定理」ってかっこいい定理を学びましたが、今回は「コーシー列」。ガノンドロフ、ビーフストロガノフ並みに強そうな名前です。 コーシー列 コーシー列のイメージ コーシー列は極...
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素人が数列に挑戦 ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

実数の性質→単調増加数列の性質→区間縮小法の流れで「ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理」という二人の偉人が証明した定理を見ていきます。 ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理有界な実数集合内にある数列は収束部分列を持...
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素人が数学に挑戦 区間縮小法

区間縮小法とはある区間をどんどん狭めていくと、ある一点に収束するよねって主張です。直観的には当たり前だろって主張なんですけどね。自明のことですら厳密に証明していくのが数学ですからね。この証明には単調増加数列の性質を利用します。 ...
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素人が数学に挑戦 単調増加数列の収束性

微積分学の本を読み進めていたらテイラー展開ってやつが結構出てくるんですよ。深掘りするのは億劫なんで直感でなんとなく進めていたんですけど、遂に頭がこんがらがってきてしまったので深掘りしてやってみようと決意しました。 テイラー展開の証明...
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素人が数学に挑戦 金利計算中に現れた不思議な定数、ネイピア数

e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …ネイピア数はこんな定数です。円周率と同じく無理数。 ネイピア数はヤコブ・ベルヌーイが複利計算をしている最中に発見しました。銀行に金を預けると預けた額...
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素人が数学に挑戦 大航海時代を支えた対数

今回は対数を学びます。最後の方に補足しますが、対数は大きな数を小さく扱うために発明されました。具体的には航海術、天文学で利用するために開発された概念みたいです。 天文学とか航海術で扱うような大きな数同士を計算しようとする...
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0.9999999999… = 1の論理 世にも奇妙な数学の世界

秩序を作ると無秩序が排出される 極限の概念を学んできて、ε - N論法、ε - δ論法などの「極限」を定義する論理はなんとか理解できたんですが、限りなく1に近づいた0.99999...は本当に1なの?ってことが置き去りだったなって感...
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素人が数学に挑戦 微分で最大値を求める

以下の記事で関数列の極限についてはやりました。一応は理解できたんですが、知識は整理されるとその先の細部が散らかっていきますよね。で、疑問が浮かびました。 一様収束ではsup操作を行いますが、この時定義域内の数で$f_n(...
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素人が数学に挑戦 関数列の極限

まだまだ極限の話が続きそうです。数学は深淵です。 今回は関数列の極限についてなんですが、その前に関数列が分からないのでそこから始めます。 関数列の極限 関数列 関数列ある規則に従って順次に並べられた数または関数の列...
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素人が数学に挑戦 上限と下限

関数列の極限を扱うときに出てきた概念なので学習します。 定義 急ぎ足でざっと行きます。 上界と下界 $\forall x \in A$について$x \leq a$の時、aはAの上界でAは上に有界であるという。(集合...
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素人が関数の極限に挑戦 ε – δ 論法

ε - N論法は”数列”の極限をどうやって定義するのかって話でした。ややこしい表現でしたが、理解してしまえば吐き気をもよおすようなことはなくなりました。今度は関数の極限についてやろうと思います。 で、どんな風になっているだろうかと関...
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素人が数列の極限に挑戦 その2極限の性質

極限の定義を学びましたので、次にその定義から導き出せる極限の性質を学んでいこうと思います。この世界はこうなっているだろうという公理を決め、その公理から導き出せる性質を元に世界を理解する論理を手に入れることが数学の目的です(長濱説)。 ...
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