数学とか 等差数列と等差級数
等差級数等差数列等差数列の初項を $a_{0}$ とし、その公差を d とすれば、第n 項 an は$\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd$であり、一般に$\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d...
数学とか
数学とか 数学とか aⁿがどこまでも大きくなる(ベルヌーイの法則)証明
$1<a⇒a^{n}<a^{n+1}$1より大きなaのべき乗は指数(自然数)を大きくすれば、どこまでも大きくなります。ほぼ同じ意味ですが、それに上限が無いことを証明します。ベルヌーイの法則証明$n≧0⇒(1+x)^{n}≧1+nx$$n=0...
数学とか 対数法則
無理数は何処にいるのかと探索しながら対数の森へ迷い込みました。対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: log...
数学とか 極限の収束
問題を解きながら極限の収束について学びます。$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$証明0<x<y(仮定)0<x(y-x)(乗法律)0<xy-x²(分配法則)x²<xy(加法...
数学とか 収束の一意性
収束定義 $(∀ε>0)(∃N∈N)(∀n∈ℕ)$ ウィキペディア 絶対値基本的な性質として、任意の実数 a, b について 非負性: |a| ≥ 0. 非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0. 偶性: |−a...
数学とか 等比数列
等比数列の一般項初項a、公比rの等比数列は$ar⁰,ar¹,ar²,ar³...$上より等比数列の一般項は$x_{n}=ar^{n-1}$初項1、公比2の第3項は$x_{3}=1･2^{3-1}$(仮定)$x_{3}=1･2^{2}$(自然...
数学とか 指数が分数のべき乗 $a^{\frac{y}{x}}$
指数が分数のべき乗$a^{\frac{y}{x}}$これを考えます。分かりやすいように具体的に。$2^{\frac{1}{2}}$は$2^{1}$(仮定)$2^{2･2^{⁻¹}}$(乗法逆元)$2^{2･\frac{1}{2}}$(分数定...
数学とか 円周率πの導出
黄金数って面白いなあとなると、必然的に円周率にも関心が向きます。円周率には面白い性質はないのだろうかと。円周率（えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl、中: 圓周率）とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい、数学定数...
数学とか 無理数と黄金比
黄金比黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである：$\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,.$黄金比における$\displaystyle {\f...
数学とか 無理数と白銀比
白銀比連分数展開を練習していたら白銀比、白金比、黄金比という面白い数の話にたどり着きました。これらは、身近な場所から宇宙観測まで、汎ゆる場所に現れる性質であるようです。フィボナッチ数列で表されるようです。確かに、フィボナッチ〜、という言葉は...
数学とか √3の連分数展開
√3の正則連分数展開$\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$-1(仮定)$=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}$(指数法則)$=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}･1$(乗法...
数学とか 連分数展開 √2の近似
無理数を小数で表現する方法の別の手法。今回は連分数で無理数を近似してみます。√2の連分数展開まずは連分数で表せる形に√2を変形します準備1$\sqrt{2}$(仮定)$1-1+\sqrt{2}$(加法逆元)$1+\sqrt{2}-1$(加法...