暇つぶしに見て 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...
暇つぶしに見て
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 集合と含意と認識
WIISの述語論理の章が終わり集合論へ突入するのでその前に自分なりに論理と集合を結びつけてみます。 部分集合と含意 集合と含意は人の認識を厳密に考える為のもので、同じものであるというのが長濱説です。含意と部分集合でそれを説明してみます。A⊆...
暇つぶしに見て 同値関係の議論
同値関係は長濱式では下のように定義しています。前提の同値関係が成立しない場合の議論はどんな風に結論されるのかなあと。 同値関係 A⇔B≔A→B∧B→A≔は定義するの記号。 ((A→B)→T∧(B→A)→T)→T(前提)¬((A→B)→T∧(...
暇つぶしに見て 正しい議論の形式
前件肯定、前件否定、後件肯定、後件否定の自然演繹っどんな感じなのかなあと我流で考えてみました。 前件肯定 ((A→B)∧A)→B(前提)¬((¬A∨B)∧A)∨B(→言い換え)¬(¬A∨B)∨¬A∨B(ド・モルガンの法則)¬(¬A∨B)∨(...
暇つぶしに見て 矛盾の認識
論理的に矛盾する関係（論理）ってどんなのがあるたまろうとふと思って考えて見ました。 矛盾は命題の如何に関わらず恒に偽となる式。例えば A∧¬A=⊥ 上の論理式は命題の真理値にかかわらず恒に偽となる論理式。つまり恒偽式=矛盾=⊥です。 この推...
暇つぶしに見て 無矛盾律と排中律の自然演繹
無矛盾律 無矛盾律（むむじゅんりつ、英: Law of noncontradiction）は、論理学の法則であり、アリストテレスによれば「ある事物について同じ観点でかつ同時に、それを肯定しつつ否定することはできない」こと。Wikipedia...
暇つぶしに見て 背理法などの議論の枠組み
恒真式恒真式（こうしんしき、トートロジー、英: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来）とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、または、aでない (a ∨ ￢a)」のように、そこに含まれる命...
暇つぶしに見て ∀と∃の交換律
基本的に我流定義なので、∀と∃の順番は気にしてませんでしたが「ちょっと待って、これ大丈夫？」と不安になったので ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)⇔∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y) が成り立つのか確認します。 ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)...
暇つぶしに見て 我流負数の交換法則とか
いつかの我流定義。-a=-s(a)+1今朝、ふとこれは定義ではなく定理だなと。 -s(a)+1(前提)-(s(a)+(-1))(負数定義)-(a+1+(-1))(負数定義)-(a)(負数定義)-a(負数定義)s(a)+1=-a 乗法で負数を...
暇つぶしに見て 負数と正数の加法
数と負数を加法でどう結びつけるのか、を試します。 負数の我流定義-0=00×-a=0-1×-1=1a×-1=-a 正数（自然数）の場合の後者はs(a)=a+1 負数をa+(-a)=0という風に、自然数aに負数-aを足すと0となるような関係で...
暇つぶしに見て 代入原理と対称律と推移律
代入原理と同値関係 代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が（両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて）常に成り立つ。Wikipe...
暇つぶしに見て 等号のカッコは外せるのか問題
数学を学んでいると何事も疑ってみる性格が身につきます。まあ、そんなひねくれた性格だから数学を楽しいと感じるのかもしれませんが。 今朝、目覚めて頭に浮かんだ疑問は(A=B)=CはA=B=Cに変形できるのか、()を外せるのか、です。自分でも完全...