前提

前回はイメージを作り込みましたので、今回は記号で展開してみます。

前回は下の図のように写像で送り合って集合を構成しました。

添字が一つづつズレて
$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}=\bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$…①

つまり①は
$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{∞}B_{n-1}\end{eqnarray}$…②
とすることで、意味を変えずに対応関係が構成できます。

また、Aには①の左辺をを引いた余りが存在すると仮定します。
$\begin{eqnarray}A \setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}\end{eqnarray}$…#

また
$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}=B_{0}∪\bigcup_{n=1}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$…③

②の右辺にも余りが存在すると仮定。
$\begin{eqnarray} B \setminus \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$…##

また、前回の記事より
$f(A)=B\setminus B_{0}$…④

展開

まずは#を$f()$で送ります。

$\begin{eqnarray}f(A \setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n})\end{eqnarray}$(仮定)
$\begin{eqnarray}f(A)\setminus  f(\bigcup_{n=1}^{∞}A_{n})\end{eqnarray}$(単射)
$\begin{eqnarray}B\setminus B_{0}\setminus  f(\bigcup_{n=1}^{∞}A_{n})\end{eqnarray}$(④)
$\begin{eqnarray}B\setminus B_{0}\setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}f(A_{n})\end{eqnarray}$(単射)
$\begin{eqnarray}B\setminus B_{0}\setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$(①)
$\begin{eqnarray}B\setminus ( B_{0}∪ \bigcup_{n=1}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$(差集合)
$\begin{eqnarray}B\setminus (  \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$(和集合)
$\begin{eqnarray}f(A \setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n})⇒B\setminus (  \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$(単射)
$\begin{eqnarray}f:A \setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}⇒B\setminus (  \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$…#

$範囲を制限すれば$A⇒B$の全単射が成立します。

余った集合の単射を構成します。

$\begin{eqnarray}g( \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$(仮定)
$\begin{eqnarray}g( \bigcup_{n=1}^{∞}B_{n-1})\end{eqnarray}$(②)
$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}g(B_{n-1})\end{eqnarray}$(単射)
$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}\end{eqnarray}$(②)
$\begin{eqnarray}g: \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}⇒\bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}\end{eqnarray}$(単射)
$\begin{eqnarray}g^{-1}: \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}⇒\bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$(単射逆写像)…##

#と##で場合分けして送り先が変化する写像を定義します。

#:$\begin{eqnarray}f:A \setminus  \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}⇒B\setminus (  \bigcup_{n=0}^{∞}B_{n})\end{eqnarray}$

##:$\begin{eqnarray}g^{-1}: \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}⇒\bigcup_{n=0}^{∞}B_{n}\end{eqnarray}$

$A⇒B$の全単射が構成できました。