ベルンシュタインの定理その二

ベルンシュタインの定理　その二

数学とか

2026.07.11

イメージで考える

その一証明はGeminiに誤りだと指揮されたました。

別のやり方を教えてもらったのでその解釈を共有します。
※この解釈が誤りでないことは保証できません

記号操作でゴリゴリやれたらいいのですが、難しいので戦略のイメージを作ります。

$f:x→f(x)∈B$…①
に値域を制限するなら、写像の定義を踏まえると全単射になります。

①の写像の送り先$B$に$x∈A$との対応が作れない要素の集合$B_{0}$が存在すると仮定します。

Aとの対応から漏れたBに余りB₀

余りであ$B_{0}$を$g(x)$で送ります。

ベルンシュタインの定理の仮定より、Bの元$g(B)$は$A$への単射、かつ$B_{0}$は$B$の真部分集合なので、$g(B_{0})⊂A$となります。

視覚化したのが下。

B₀をg(x)で送る

次に$g(B_{0})=A_{1}$を$f$で$f(A_{1})=B_{1}$へ送ります。

$f()$は単射かつ$f(A_{1})⊂B$なので、$f(A_{1})$が送られる先$B_{1}$は、$B_{0}$からズレた場所になります。

また、$g()$は単射かつ$B_{1}⊂B$なので、$g(B_{1})⊂A$は$A_{1}$からズレた$A_{2}$になります。

下の図のようになります。

A₁をB₂へ送り、B₂をA₂へ送る

このように単射を構成すると、$∀a_{n}∈A$のそれぞれは全て、$B$の異なる要素へと送られます。

また、$∀b_{n}∈B$も同様です。

この作業を無限に繰り返す

$f()$で送る、$g()$で送り返す、を無限に繰り返して二つの集合$f(A),g^{-1}(B)$を構成します。

$A$ の任意の要素は「余り $B_0$ から始まる連鎖に包含された集合」か、そのまま「$f(A)$で送られた要素の集合」か、に分岐します。

対象によって適用する規則を分岐させる写像$h$を定義します。

h(x) = \begin{cases} g^{-1}(x) & (x \in A_{\text{chain}} \text{ のとき}) \\ f(x) & (x \notin A_{\text{chain}} \text{ のとき}) \end{cases}

冒頭の図の左($f()$)側か右側($g()$)で写像を分岐させています。

上記のように$A$を2分割した集合は、$f(A),g^{-1}(B)$により、$A$から$B$への単射かつ全射、すなわち全単射になります。

従って$A⇄B$の双方向単射が成り立つなら$f:A→B,g:B→A$は全単射になります。

前回の記事の誤った理由を考察します。

ベルンシュタインの定理の核心的な戦略が、「はみ出た余りの部分（差集合）」を起点にして、ドミノ倒しのように全単射の対応関係を構成（修正）していく、であるとことが混乱の原因です。

$f,g$ は単射であっても全射とは限らないため、「$A(B)$ を $B(A)$ へ送った余りの集合」が生じる可能性があります。

直感的な全単射の構成では、双方に余りが生じてしまう可能性を排除できません。

「一対一対応を作った結果」として生じるかもしれない余りを基に「全単射を構成する(原因)」ことが混乱の原因だと思われます。

原因の堂々巡り感。

全単射を作るために $\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}\end{eqnarray} $という「集合の連鎖」を仮定しますが、この仮定自体に $f$ と $g$ が無限に絡み合った不自然さがあります

「これから作る写像のルールを決めるために、あらかじめ無限の写像操作を終わらせておかなければならない」ように見えます。