複利計算

素人が数学に挑戦　金利計算中に現れた不思議な定数、ネイピア数

e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …ネイピア数はこんな定数です。円周率と同じく無理数。ネイピア数はヤコブ・ベルヌーイが複利計算をしている最中に発見しました。銀行に金を預けると預けた額に数％付...

実数の定義引用WIIS

実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。

(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0

を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。

ウィキペディア

x+y=x+z(仮定)
y(仮定2)
y+x+(-x)(加法逆元)
x+z+(-x)(仮定)
z(加法逆元)
x+y=x+z⇒y→=z(→導入)…①
加法一意性。

ax(仮定)
ax+0(加法単位元)
ax(仮定2)
a(x+0)(加法単位元)
ax+0(x分配法則)
0=0x(①)…②
0の乗法。

元本P、年利rとした場合の複利計算。
0年目よ利益は元本PとPの利息。
P+P･r･0(仮定)
P+0(0の乗法)
P(加法単位元)
よって、0年の運用は利益なし。

満1年の場合は元本Pとその利息Pr。
P+Pr(仮定)
P(1+r)(分配法則)
P(1+r)¹(べき乗)
P+Pr⇔P(1+r)(同値関係)…①

二年目。
P(1+r)+P(1+r)r(仮定)
(P+Pr)(1+r)(分配法則)
P(1+r)(1+r)(①)
P(1+r)²(∗∗)…②

三年目。
P(1+r)²+P(1+r)²r(仮定)
(1+r)²(P+Pr)(分配法則)
(1+r)²(1+r)P(分配法則)
P(1+r)³(∗∗)

初年はP(1+r)¹、二年目はP(1+r)²、三年目はP(1+r)³。四年目はP(1+r)⁴であり、n年目はP(1+r)ⁿと予想できます。

数学的帰納法によりそれを証明します。