指数の性質

指数の性質を考えます。

乗法律引用WIIS

実数の定義引用WIIS

[x<0∧0<y⇒0<x･y](仮定)
[0<x∧0<y⇒0<x･y](乗法律)
⊥
¬(x<0∧0<y⇒0<x･y)(背理法)
0<x∨y<0⇒x･y<0(ド・モルガンの法則)
0<x∧0<y⇒0<x･y→0<x∨y<0⇒x･y<0(→導入)①

乗法律は「正と負の実数の乗法は負となる」と言い換えられます。

[x](仮定1)
x･1(乗法単位元)
x(1+0)(加法単位元)
x+0x(分配法則)
x=x+0x(同値関係)
x+0=x+0x(加法単位元)
x→x+0=x+0x(→導入)

xに0か0xを足した値はxと同値となります。推移関係よりx=x+0=x+0x。

[x+y=x+z](仮定)
[y](仮定2)
y+0(加法単位元)
y+x+(-x)(加法逆元)
z+x+(-x)(同値変形)
z(加法逆元)
[y=z](同値関係)
x+y=x+z→y=z(→導入)#2
実数は一意的。

#1#2より
0x=0②

①②より、
0<x∧0≠x⇒0<x･x･…x=xⁿ
任意の0<xとなるxのn乗は0<xⁿとなります。つまり、正のべき乗は正。

[0<x-y,0<z](仮定)
0<(x-y)z(①)
0<xz-yz(分配法則)
yz<xz(加法律)
0<y<x,0<z→yz<xz(→導入)…③
正同士の乗法は大小関係を保存する。

[1<x](仮定)
1･x⁻¹<x･x⁻¹(③)
x⁻¹<1(乗法律)
1<x→x⁻¹<1(→導入)…④
1<xならx⁻¹<1
①を踏まえるなら1<xならば0<x⁻¹<1である。

1<x(仮定)
x<x²(③)
1<x→x<x²(右)→導入)…#1

1<x∧1≦n(仮定)
xⁿ<xⁿ⁺¹(③④)
1<x∧1≦n→xⁿ<xⁿ⁺¹
となる。
つまり、底が1より大きいなら、指数nを無限大に大きくすると無限大にxⁿは大きくなる。

[0<x<1](仮定)
0<x･x･x…=xⁿ<xⁿ⁻¹<x･1(③①)
0<x<1→x･x･x…=xⁿ<xⁿ⁻¹<x･1(→導入)
0より大きく1未満の底のべき乗は指数nを大きくするするほど0へ限りなくが、0以下にはならない。

まとめると。
1より大きな底の指数を無限大へ飛ばすと、演算の結果は無限大へ発散する。底が1未満なら0へ収束する。

指数の法則