$1<a⇒a^{n}<a^{n+1}$
1より大きなaのべき乗は指数(自然数)を大きくすれば、どこまでも大きくなります。
ほぼ同じ意味ですが、それに上限が無いことを証明します。
ベルヌーイの法則
証明
$n≧0⇒(1+x)^{n}≧1+nx$
$n=0$の場合
$1≧1$
成立。数学的帰納法の最初のドミノが倒れた。…①
乗法>保存則
$n>1⇒a(n+1)>an$…#
$(1+x)^{n}>(1+nx)$(数学的帰納法仮定)
$(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(n+1)$(指数関数)
$(1+x)^{n}>(1+nx)⇒(1+x)^{n+1}>(1+nx)(1+x)$(#)…#2
#2が
$(1+nx)(1+x)>1+(1+n)x$
であることを証明します。
$(1+nx)(1+x)$(仮定)
$1+x+nx+nx^{2}$(分配法則)
$1+(1+n)x+nx^{2}$(分配法則)
$1+(1+n)x+nx^{2}>1+(1+n)x$(加法律)
$(1+nx)(1+x)>1+(1+n)x$(推移律)
以上より
$(1+x)^{n}>1+nx⇒(1+x)^{n+1}>(1+nx)(1+x)>1+(1+n)x$(⇒導入)
数学的帰納法より
ベルヌーイの不等式が成り立つことが示されました。
任意の整数 r ≥ 0 と全ての実数 x ≥ −1 に対し、次が成立する。
$\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx\!$
指数 r が偶数の場合、この不等式は全ての実数 x に対して成り立つ。
さらに厳しい条件のものとしては、任意の整数 r ≥ 2 と全ての実数 x ≥ −1 （ただし、x ≠ 0）に対し、次が成立する
$\displaystyle (1+x)^{r}>1+rx\!$
ベルヌーイの不等式は他の不等式を証明する際に重要な場面で用いられることがある。これは以下に示すように、数学的帰納法を使って証明することができる。
実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。
(∗)x¹:=x
(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0
を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。
上記のベルヌーイの法則を用いて冒頭の命題を証明します。
$(1+r)^{n}≧1+nr$(ベルヌーイの法則)
アルキメデスの性質より、任意のM,rに対してnr>Mを満たす自然数nが存在します。
また、前提と加法律より、$1+rn>rn$が成り立ちます。
よって
$(1+r)^{n}≧1+nr>nr>∀M∈ℝ$(アルキメデスの性質とベルヌーイの不等式)
$(1+r)^{n}>∀M$(推移関係)
冒頭の命題が証明できました。$a^{n}$には上限がありません。
対数を用いた証明
n=1の場合は上で示した通り。
以下n>1の場合。
$M=\log_{a}m$(仮定)
アルキメデスの性質は、任意の小さなx,任意の大きなyを選んだとしても、nを適当に選べば
n･x>y
が成り立つこと。
任意大きなyを
$y=log_{a}m$
と仮定、
この場合の対応するn･xを
$n･x=n･\log_{a}a^{a}$
と仮定します。
$n･\log_{a}a^{a}>\log_{a}m$(アルキメデスの性質)
$\log_{a}(a^{a})^{n}>\log_{a}m$(対数法則)
$a^{n}>M$(対数定義)
補足
対数の底や真数の入れ子構造に一般的な意味はありません。ある意味では恣意的に決めています。
つまり、単に「導きたい『結論の構造から『初期値(前提)』を逆算」しています。形式的な意味しかありません。
数学の面白さはこのドミノ倒しだと思います。座標とそのもの経路を決定する仮定が面白い。
補足終わり。
アルキメデスの性質が成立するなら、任意のMより大きな$a^{n}$は構成できます。
対数の方が単純ですね。対数が開発された意味をすこしだけ体感。
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