無理数は何処にいるのかと探索しながら対数の森へ迷い込みました。

√2はどこにいるの無理数をやっているとたどり着く疑問。非循環な無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、数直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は...

対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。

$1$ でない正の実数 $a$ および正の実数 $x$ に対し

x=a^{p}

を満たす実数

p

がただ一つ定まる。この

p

を

x

の

a

を底とする対数として定義する。

x

に対して

a

を底とする対数を

log a x

と表わせば、上記の方程式を満たす

p

は以下のように書き換えることができる。

p=log_{a}⁡x.

この対数の定義はレオンハルト・オイラーによる（1728年）。

正の実数 a ≠ 1 について、正の実数 x を変数にとる実数値連続関数 fa (x) として

$\displaystyle {\begin{aligned}f_{a}(xy)&=f_{a}(x)+f_{a}(y)\\f_{a}(a)&=1\end{aligned}}$

を満たすものを

$\displaystyle f_{a}(x)=\log _{a}x$

と書き、この関数 loga x を a を底とする対数関数と呼ぶ。

ウィキペディア

連続関数とは、そのグラフが途中で途切れることなく、どこまでもつながっている関数を指します。

引用AI

$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$

指数法則
$a^{x+y}=a^{x}･a^{y}$

指数関数は
ℝ→ℝ₊₊
の関数。
任意の実数を正の実数へ送る関数。
ℝ₊₊→ℝ
の一対一対応だけを考えるなら、対数関数は指数関数の逆関数と見なせます。

例えば
$\log_2{4}=x⇔2^{x}=4$
と一対一の対応関係を考えられます。

一般化すると
$\log_a{y}=x⇔a^{x}=y$
と変形できます。

$\log_a{x}=X$(対数定義)…①
$\log_a{y}=Y$(対数定義)…②
$x ･y=a^{X}･a^{Y}=a^{X+Y}$(指数法則)
$\log_a({x･y})=X+Y$(対数定義)…③

①②③より、代入して
$\log_a({x･y})=X+Y=\log_a{x}+\log_a{y}$
$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$(推移関係)

指数の加法法則　xⁿ･x¹=xⁿ⁺¹

べき乗の性質べき乗実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗...

同様に
$\log_a{\frac{x}{y}}⇔\log_a{x}-\log_a{y}$
が成り立ちます。

$\log_a{x^{p}}=p\log_{x}$

見出しの変形の証明。

$\log_a{x}=X$(対数定義)…①
$x^{p}=(a^{X})^{p}=a^{Xp}$(指数法則)
$\log_a({x^{p}})=\log_a({a^{Xp})}=Xp$(対数定義)
$\log_a{x^{p}}=Xp$(=推移関係))
$\log_a{x^{p}}=p\log_a{x}$(①と対称関係)

よって
$\log_a{x^{p}}=p\log_{x}$