有理数は循環小数

見出しの証明。

引用WIIS

有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。

すなわち、
Q={ab∣a,b∈Z,b≠0}

ウィキペディア

有理数は整数x,yで表現される比x/y。
循環小数は、1/3など、0.3333…と小数点以下が無限に循環する数。

4/2は2.000000…と捉えれば循環小数。割った余りが0の場合は、0が無限に続く循環小数と見做すことができる①。

次に余りが1以上の場合。

1/3を考える。計算すると、常に1が余ります。そして、その余りは常に3より小さくなります。
x/yの余りaは常に
1≤a<y

1を3で割った余りaが3以上なら論理的には1回位上は割れます。すなわち、1を3で割った余りは必ず1か2。この場合に循環節以下の幅三桁を切り取ると、2通りの選択を三回行うので、論理的に1か2の何れかがニ回以上現れます。

この論理を4以上にまで敷衍すると、①を除いた循環少数x/yの存在を仮定した場合の余りaは、1≤a<yに限られます。

具体的には1/3の循環節以下を任意に3桁切り取ると、その取りうる値は2つだけなので、1か2のいずれかが必ず重複します。

割り算は同じ入力に対して同じ値を返すので、は既出の余りと同じ値がでた後はそれ以降は同じ形が繰り返されます。
従ってx/yの余りのy+1番目以降は同じ節が繰り返されます。

有理数は循環少数である証明終わり。

感覚的な証明ではなくぐうの音の出ないような厳密な証明は別の機会に試します。