x≠0⇒0<x²

プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。

マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。

0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。

従って0より小さい平方の証明だけをやります。

x<0(前提)
x<0⇒0<-x(逆元の定理)
0<-x⇒0<-x･-x(乗法律)
x<0⇒0<-x･-x(前提と推移律)
x<0⇒0<-1･-1･x･x(逆元定義と結合法則と分配法則)
x<0⇒0<1･x･x(逆元の乗法)
x<0⇒0<x･x(加法逆元の平方と推移律)

任意の実数と0との積は常に0てあることは既に証明。
0a=a0=0
すなわち0以外の平方はプラス。

0×a=0

任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...

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2025.01.13

マイナス×マイナス=プラス

定義から証明 1+-1=-0(加法逆元) -1+-(-1)=0(加法逆元) -(-1)=1(加法一意性) 加法逆元の逆元は元の元,-1･-1=-(-1)=1① 次は任意の実数におけるマイナス×マイナス。 ∀a,b∈ℝ(-a･-b)(仮定) ...

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2025.04.17

狭義大小関係

引用WIIS 定義 10反射律、11反対称律、12推移律、13完備律を備えののが大小関係。 狭義大小関係は、上に加えて同値関係が成り立たないもの。 x<y⇔x≤y∧x≠y 定理 x<y⇒¬(y<x) の証明。 感覚的には自明なんだけど一応。...

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2025.03.18