実数の最大値最小値
A={ℝ∈x|a≤x≤b}
maxA=b,minA=a
非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると
∀x(0,x)∈ℝ⁺≤
正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は
minℝ⁻=0
負の実数はx≤0の関係にあるので、その最大値を
maxℝ⁺=0
と定義。
(a≤x≤b∧b≤x≤a)⇒a=b(≤2)
a≤x≤a(a=b同値変形)
a≤a(≤3)
a(≤1)
maxA=minA
全順序と稠密性
数学における全順序（ぜんじゅんじょ、英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
即ち、集合 X 上の関係 ≤が全順序であるとは、≤が、X の任意の元 a, b, c に対して、次の4条件を満たすことである：
反射律：X の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。[注釈 1]
反対称律：a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b
推移律：a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c
完全律（比較可能）：a ≤ b または b ≤ a の何れかが必ず成り立つ
任意の（広義）全順序関係 ≤ に対し、それに付随する非対称（従って非反射的）な狭義全順序 (strict total order) と呼ばれる関係 < が存在する。これは次の互いに同値な二種類の仕方で定義することができる。
- a < b⇔a ≤ b かつ a ≠ b
- a < b ⇔ b ≤ a でない
後者は、関係 < が ≤ の補関係の逆関係であることを意味するものである。
性質：
推移律：a < b かつ b < c ならば a < c
三分律（英語版）：a < b まは b < a または a = b の何れか一つのみが成立する。
恒等性を付随する同値関係とする狭義弱順序（英語版）である。
推移的かつ三分的な二項関係 < が最初に与えられたとき、そこから（広義の）全順序 ≤ を定めることも、次の同値な二種類の方法
- a ≤ b ⇔ a < b または a = b
- a ≤ b ⇔ b < a でない
でできる。
a≤b⇔(a<b∧a≠b)
上は形式的に変形可能。
x≤y∧y≤x⇒x=y(≤2)
x≠y⇒x>y∨y>x(対偶)①
推移律
(a<b)∧(b<c)
((a≤b)∧(a≠b))∧((b≤c)∧b≠c)(同値変形)
(a≤c)∧a≠c(推移律)
a<c(推移律)
三分律
(a≤b∧b≤a)⇒a=b
反対称律の対偶
a≠b⇒a>b∨b>a
稠密性
A={ℝ∈x|a<x<b}
minA≠a,maxA≠b
a<minA<b,a<maxA<b
狭義大小関係<の場合、最大値と最小値が特定できるか、について考える。
稠密性（ちゅうみつせい）とは、数学において、ある集合が「ぎっしり詰まっている」さまを表す性質です。
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。
ウィキペディア数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう
稠密性の概念操作は微分のε-δ論法ε-N論法と似ています。新しい概念の操作で混乱。
実数の任意の部分集合をAとして稠密性に我流の解釈を与えてみます。
実数の部分集合Aを定義。
A={ℚ∈x|x<a<y}
有理数の演算は閉じているので、
a-y
は有理数。この範囲にaはあります。
その差の半分
a-y/2
も有理数
a+(a-y/2)
も有理数。
a<a+(a-y/2)<y
さらにこれを半分して…
この操作を有理数の閉性に基づいて無限に繰り返せば、yに限りなく近い有理数bの存在が証明されます。
また、大小関係の推移律によりx<a<b<yが成り立ちます。
形式的な厳密な証明はまだ思いつかず。なので、感覚でやりました。
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