乗法の交換法則
すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
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すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a
0×a=a×0
任意のaに0をかけると、aの位置にかかわらず0となることが証明できました。
次は任意のabに対して
b×a=a×b
が成り立つことの証明に挑戦します。
任意のaに対して
b×a=a×b
が成り立つなら、その後者においても
s(b)×a=a×s(b)
が成り立つ、という数学的帰納法を用いたい。
b×a=a×bが成り立つと仮定します(仮定①)。
a×s(b)(前提)
(a×b)+a(乗法定義)
(b×a)+a(仮定①)
b×s(a)(乗法定義)
遡ればb×s(a)→a×s(b)も真を満たす必要十分条件なので
a×s(b)⇔b×s(a)
であることが論理的に証明できました。
次に任意のaに対してa×0=0×aの交換法則が成立することを証明できればいいのですが、それは前の記事で証明済。
というわけで乗法における交換法則
a×b=b×a
が証明できました。
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