奇数が無限にある証明

股関節おじさんの勉強部屋

2024.01.07

我流数学やっていきます。
今回も数学的帰納法の練習。
奇数が無限個あることを証明します。

奇数が無限個ある証明

2n-1+1+1(前提)
2n+2-1(加法)
2(n+1)-1(分配法則)
2k-1(代入)
2n-1+1+1→2k-1(→導入)

nは自然数の集合の元。面倒なので全称記号などは省いています。

奇数の次の次が奇数になることが証明できました。

次は具体的に1が奇数であることの証明。

1(前提)
1=1(同値変形)
2×1=2(同値変形)
2×1-1=1(同値変形)
(2×1)-1=1(同値変形)
1→(2×1)-1(→導入)

Wikipediaの同値変形の定義を用いました。

反射律：a ∼ a.
対称律：a ∼ b ならば b ∼ a.
推移律：a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c
Wikipedia

この定義の部分を僕なりに解釈して、同値の関係が崩れないように変形を繰り返しています。
移項の法則もここから演繹できそうな気もしますので、後でやってみます。

2n-1(前提)
(2×1)-1(代入)
2-1(乗法)
1(加法)
2n-1→1(→導入)

2n-1⇔1
なので1は奇数です（長濱説）。

上で証明した「代数的な奇数の次の次も奇数である」ということと合わせると、
1が奇数である場合、連鎖的に無限個の奇数があることが証明されます。