自分で定義した関数を使って、∃∀の認識について遊びながらま学びます。
順序の認識
大小関係の演繹
5>1を証明します。
簡易版だとこんな感じ
1.∃x(5=x+1)(仮定)
2.5=4+1(∃除去)
3.5=5(加法定義)
4.∃x(5=x+1)(∃導入)
5.5>1(>導入)
∃x(5=x+1)って形が導けたら5>1って形に変形して良いって規則を勝手に作ったので、5=x+1の同値関係を満たすxが存在することを示しました。
1行目は、この場合の証明を行うための前提です。元々の仮定の論理式から∃を除去してまた導入ってのが気持ち悪いですが、他に>の認識を表す式が思いつきません。
ふと、順序関係込みで自然数って定義されているよなと。
自然数と大小（順序）関係
Wikipedia引用します。
任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の “意味”）。
Wikipedia
後者って概念は大小（順序）関係があるって前提の認識ですよね。
〇は□の前ですか後ですかって問われても形の順序関係の定義を知らないので答えられませんから。
自然数の順序は記号化する前の数それ自体に明記されています。
1→s1→ss1→sss1
※sは後者関数
上のようなsの数が自然数の順序です。sが少ないほど小さい（前者）。
1だけは「1はありまぁす！認めてください」って疑うことは許されない前提になっていますが、それ以降の数は前者（1）との関係によって定義されています。
その文脈で下の順序関係の定義を読むと理解し易いかもなと。
暗黙的に？定義された自然数の順序の認識を言語として明記しているように感じられます。
前順序、半順序、全順序を順に定義するために、まず以下の性質を考える。
ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。
反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
Wikipedia
推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
「≤」が全順序律を満たさない場合、「a ≤ b」でも「b ≤ a」でもないときがある。このとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
大きく考えると難しいので1と2の順序関係で考えてみます。
どんな関係なのか。
1.2と1は同じ集合の要素。2は1の次の元、後者です。
a∈N→sa ∈N
集合Nからaを選んだ場合、その後者saも集合Nの要素であること。
2.1の次は必ず2。それ以外があってはなりません。
a,b∈N∧a≠b→sa≠sb
こんな感じだろうか。aとbが異なるなら、その後者も異る、即ちそれぞれ異る後者を持つ。
反射律から下は、順序関係を満たす集合の元には必ず後者があるよ！を後者関数を使わずに表現しているのかなと。
反射律は反対称律を認めるための伏線ですかね。
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