これまでに証明した命題論理の定理を用いた証明を行います。
(A∧B)→C⇔A→(B→C)
証明
1.[(A∧B)→C](仮定)
2.¬(A∧B)∨C(→言い換え)
3.¬A∨¬B∨C(ド・モルガンの法則)
4.¬A∨(¬B∨C)(結合法則)
5.A→(¬B∨C)(→言い換え)
6.A→(B→C)(→言い換え)
7.((A∨B)→C)→A→(B→C)(→導入)
自然演繹の推論規則と証明した含意の言い換え定理による同値変形を繰り返して結論を導いています。
特に細くが必要な点はないかと思います。
各定理の自然演繹はリンクから。
逆からの証明もやってみます。
1.[A→(B→C)](仮定)
2.[A∧B](仮定)
3.A(∧除去)
4.B→C(→除去)
5.B(∧導入)
6.C(→除去)
7.(A∧B)→C(→導入)
8.(A→(B→C))→((A∧B)→C)(→導入)
推論規則のみを繰り返して適用して結論がまで。これは定理も用いず推論規則だけなのでさっきより簡単でした。
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