反射律と対称律と推移律と代入原理

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また等しいについて考えながら数学の思想を感じていきます。

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等式の定義と同値関係の定義

等式の定義

【等式】
通常、等号は以下の2つの公理によって定義される[1]:

反射律: 対象 a が何であっても a = a は常に成り立つ。

代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が(両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて)常に成り立つ。

Wikipedia

等式の定義は想像よりシンプル。
反射律と代入原理が成り立つこと。

違和感があるのは1のa=a常に成立するって定義。後者の2の定義だけで話は完結させられように思うからですかね。

命題関数から出てきた形が同じなら、入れたものには=の関係があるって言えばいいだけな気がします。aとaをP(x)のxに代入してもP(a)になるので。

前者の定義は数学的な=の解釈なのかなあと。数学世界における命題論理の「論理的同値関係」は全く同じ対象を比較した場合に見られる関係のことだよって最初に宣言してんのかなと。

とりあえずは反射律は上記の解釈で進めてしまいます。

代入原理は、aとbに=の関係があるなら、それぞれを別々に同じ関数に入力しても出てくる結果は同じになるよってを言ってます。

恒真なAという命題を仮定します。
その命題を演繹する論理式の組み合わせ$(A_1,A_2…A_n)$も定義より恒真式になります。

$A(a_1,a_2…a_n)$

論理式の内容を$b_n$に変えも$b_n=a_n$なら

$A(b_1,b_2…b_n)$

命題Aの真理値は変化しません。

代入原理から対称律、推移律

代入原理って文脈からなら、同値関係を定義する対称律、推移律の出現が納得できます。

【代入原理】
さらに、代入原理と反射律から以下の性質が導かれる。

[2]対称律: 対象 a, b について a = b が成り立っているときはいつでも b = a も同時に成り立つ。

推移律: 対象 a, b, c に対して a = b と b = c が同時に成り立っているときには常に a = c も同時に成り立つ。
このように、相等性は反射律、対称律、推移律を満たすため、相等性は同値関係の一種であり、また「相等性とは代入原理を満足する同値関係のことである」と言っても(冗長だが)定義と同じことである。等式は数学において最も基本的な同値関係を与えるものであると見ることができる。

Wikipedia

命題変数で考えると
A=B
はA⇔BはA⇒BとB⇒Aなので
両辺にそれぞれを代入すれば入れ替えられます。これが対称律。

a=b=cと仮定すると、定義よりa⇔b⇔cが成立します。
またこの前提かは、aであると仮定すると三段論法的にa⇒b⇒cなのでcであると結論でき、cであると仮定するならc⇒b⇒aでaであるが結論できます。a⇔cという形は定義よりa=bに変形できます。

とりあえずはこんな感じで。この解釈で行き詰まったらまた考え直します。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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