論理包含の法則その2 トートロジーと三段論法

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股関節おじさんの勉強部屋

下の記事の続き。
Wikipediaにある他の法則も導いていきます。

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論理包含の法則

同語反復

まずWikipediaの一発目。

$P \rightarrow P$ (同語反復

Wikipedia

【トートロジー(恒等式)】
(こうしんしき、トートロジー: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来)とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、または、aでない (a ∨ ¬a)」のように、そこに含まれる命題変数真理値、あるいは解釈に関わらず常にとなる論理式である。

【定義】
ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。
$\displaystyle \mathrm {Val} $ を命題変数の全体とする。
$\displaystyle f:\mathrm {Val} \to \{\top ,\bot \}$なる写像、すなわち命題変数への真理値割り当てを考える。$\displaystyle \top $は恒真、$\displaystyle \bot $は矛盾。次のようにして $\displaystyle f$の始域を論理式の全体 
$\displaystyle \mathrm {Fml} $ に拡張する(右辺の $\displaystyle \wedge \vee \neg \to $ は論理記号ではなく $\displaystyle \{\top ,\bot \}$ 上の 演算である):

$\displaystyle f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )$
$\displaystyle f(\alpha \vee \beta ):=f(\alpha )\vee f(\beta )$
$\displaystyle f(\neg \alpha ):=\neg f(\alpha )$
$\displaystyle f(\alpha \to \beta ):=f(\alpha )\to f(\beta )$

このようにして得られる写像 $\displaystyle f:\mathrm {Fml} \to \{\top ,\bot \}$ を付値という。任意の付値 $\displaystyle f$ に対して $\displaystyle f(\alpha )=\top $ となるとき、$\displaystyle \alpha $ を恒真式という。

古典論理の上で、次の論理式は恒真式である。
$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )$
$\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha $
$\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )$
$\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha $
$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )$
$\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )$

【例】
主な恒真式として、同一律排中律矛盾律二重否定の法則、巾等律、交換律結合律分配律吸収律ド・モルガンの法則対偶律選言的三段論法前件肯定式、推移律、移入律、移出律英語版)、縮小律、拡大律、構成的両刀論法英語版)などがある[4]



眩暈がしますが、諦めず翻訳に挑戦します。
命題変数の組み合わせ方(始域)に関わらず「恒真(恒に真)」か「矛盾(恒に偽)」な写像を考えた場合、その写像の始域を論理式全体の $\displaystyle \mathrm {Fml} $ にまで広げたとしても終域の真理値の結果が常に「恒真」か「矛盾」になる写像を考えることができて恒真式と呼ぶ。

これの下に続くのは論理式を写像の変数として代入した場合の変換規則。
例えばこれは
$\displaystyle f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )
始域の元が分解されています。

「古典論理の上で、次の論理式は恒真式である。
$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )$
$\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha $
$\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )$
$\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha $
$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )$
$\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )$」

上で定義した写像に上の論理式を入力したら恒に真を返す恒真式であると。
一番上から確かめてみます。

$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )$
定義通りまずは否定演算子を外します。
$f( \neg (\alpha \wedge \neg \alpha ) ) = \neg f( \alpha \wedge \neg \alpha ) $
定義通りに変形
$ \neg f( \alpha \wedge \neg \alpha ) =\neg (f(\alpha) \wedge f(\neg \alpha))$
再び否定演算子を外して
$ \neg f( \alpha \wedge \neg \alpha ) =\neg (f(\alpha) \wedge \neg f(\alpha))$
()内は論理積の演算になっているので常に偽を写しますが、その後に否定演算子によって真理値が反転されるので、常に真になります。

Wikipedia

次はこれ。
$\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha $
面倒なので細かい式変形は飛ばします。
否定演算子が着いているので、いずれかが常に真になりかつ論理和なのでいずかが真の時には真を写します。

次。
$\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )$
左辺も右辺の論理包含も $\alpha$ が真 $\beta$ が偽になる場合のみ偽になり、演算結果は同じになります。

前提(命題1)結論(命題2)P→Q(PならばQ)

次。
$\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha $
コインのように真理値を反転させるので、結果は同じ。

次。
これも定義式とドモルガンの法則で変換。
$\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )$

論理積は、否定論理和を用いて表すことができる(ド・モルガンの法則)。
P ∧ Q = ¬(¬P ∨ ¬Q)

Wikipedia

最後が曲者です。
$\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )$
三段論法ってやつですね。
これは8通り並べてみました。
常に真になります。

αβγα→ββ→γα→γ((α→β)⋏(β→γ))→(α→γ)

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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