素人が数学に挑戦 n次元実数空間での演算

股関節おじさんの勉強部屋
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コーシー列に続く実数の性質「点列」って概念を調べていてWikipediaを回遊していたんですけど、そこで泥沼にはまりました。
「点列」の舞台となるのが広大な概念的空間を扱う実数空間って呼ばれるやつなんですが、それは実数の性質を多次元に拡張して、数学的に理解してみようぜって話なんですよね。

点列
ユークリッド空間上の無限個の点を順番にならべたものを点列と呼びます。点列を自然数空間から実数空間への写像として定義することもできます。点列は数列を一般化した概念です。

wiis.info

一昨日、「点列やっつけるぞ~」って軽い感じでスタート。
点列の前提となる「実数空間」って世界観を理解しようとWikipedia読んでみたら「????」。
日本語なんですけど、専門用語が多すぎて理解できません。
「沖縄のこと知ろうとしていたのにいきなり宇宙空間に放り出された」みたいな感じで、前提となる世界が一気に広がっちゃって。

実数空間のWikipediaの文章の破壊力が高すぎます。「ユークリッド空間」「ベクトル空間」「位相空間」「多様体」「体」「可換体」。

数学の幾何学的な構造とかに着目しいて、その構造も掘り下げると一冊の分厚い本が書けるくらい。
深すぎて溺れてしまいました。
一旦浮上して整理します。

脳みそが破壊されるところでした。んんん。

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実 n-次元数空間

まずは実数空間のイメージとか定義を理解します。

なんとなく全体像を掴む

実変数の n-組を一つの変数であるかのように扱うことを許す座標空間である。

Wikipedia

任意の自然数 n に対し、実数の n-組の全体からなる集合 Rn を「n-次元実数空間」(“n-dimensional real space”) と呼ぶ。Rn の元は、各 xi を実数として
$X = (x_1,x_2,x_3…x_n)$
と書かれる。
各 n に対して数空間 Rn はただ一つ存在する (the real n-space)

Wikipedia

特に注目すべきは:
ベクトル空間の直和としての定義により Rn に加法とスカラー乗法が定義できる(数ベクトル空間を参照)

Rn は位相空間になる

Wikipedia

「実数空間がベクトル空間の直和である」ってところを遡って証明していこうとしたんですが、深淵すぎて日が暮れるどころか令和が終わってしまいそうだったので、一旦分かる範囲、できる範囲で進めていきます。

Wikipediaにある大切な部分は「ベクトル空間の直和としての定義により Rn に加法とスカラー乗法が定義できる」じゃないかと思います。
これが定義できれば四則演算ができて、距離が定義できますからね。そしたら何とか微分もできるだろうって感じがします。

$\mathbb R^n$の座標(ベクトル)の表記はこう。
$\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)$
次元の分だけ$x_i$のiが増えていきます。

加法が使えるってことなんでやってみます。
一次元の足し算はシンプルに実数同士を足し合わすだけでしたが、二次元以上になると足し算は成分同士の足し算になります。

一次元の足し算だと
x = 1,y = 2
x + y = 3
小学生でもできます。

二次元を簡単なイメージにしてみました。
x = 赤,y = 青,x+y = 黄色。

x = (1,1),y = (1,2)
x + y = (2,3)

これは同じ成分(x座標、y座標同士)を一次元の実数として扱い計算しています。

二つの座標を合成する方法は中学でも習っています。
赤と青を足すと黄色になります。
ベクトル加法はこんな感じ。

実数空間てのは実数の存在する次元を増やしても計算できるように、多次元空間内のベクトルのかけ算、引き算のやり方を定義しようぜってことですね。

定義

とりあえずスカラー乗法と加法が利用できると認めてしまって、それぞれの計算の定義を見ていきます。

$\mathbb R^n$のnは次元の数を表しています。
空間内の情報が$\mathbb R × \mathbb R × \mathbb R …$と増加していくからですね。
それぞれの要素がn組存在し、それらのことを「点」「ベクトル」と呼びます。

2次元なら
$(x_1,x_2)$
3次元なら
$(x_1,x_2,x_3)$
4次元なら
$(x_1,x_2,x_3,x_4)$
N次元なら
$(x_1,x_2,x_3…x_n)$
このようにの実数をn個組合わせたものが「点」「ベクトル」です。

次に足し算の定義。
$x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right),y = \left(\begin{array}{c}y_1\\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)$
とした場合、
$x + y = \left(\begin{array}{c}x_1+y_1\\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ \vdots \\ x_n+y_n \end{array} \right)$
となります。
同じ成分同士なら実数の定義を適用できるので、それぞれを一次元の数列として足しているだけです。

次にスカラー乗法。
スカラー乗法とは各成分を実数倍することを言います。
ベクトルには大きさと向きの情報がありますが、その内の大きさだけを抜き出したのがスカラーです。
Scalr(大きさ)をそのまんま日本語読みしているのでスカラーなんだと思います。
スカラーには向きがなく大きさの情報だけなので、単純に実数倍するだけです。
$x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right),a$
ベクトルxをaスカラー倍するなら
$ax = \left(\begin{array}{c}ax_1\\ ax_2 \\ ax_3 \\ \vdots \\ ax_n \end{array} \right)$

とりあえずここで一旦終わります。

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