数学とか 双対と概念の創造
双対の文脈を読解してみる再び双対と遭遇。こいつは強敵。そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価される過...
述語論理
数学とか 数学とか 頭の体操
集合Aの部分集合とはすなわちべき集合とその濃度。二つの要素を持つ集合のべき集合の要素数はA=aがあるB=bがあると定義すると要素の組み合わせは四通り(A,¬B)(¬A,B)(¬A,¬B)(A,B)べき集合の任意の要素xについては常に、「ある...
数学とか 形式的に定理を導く練習
数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。公理をペアノの公理という。0 ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば S(n) ...
数学とか 全称除去の定義と練習問題
述語論理における全称記号∀を取り除く推論規則を見ていきます。別名を普遍例化と呼ぶようです。全称除去(普遍例化)定義例:「全ての犬は動物である。ポチは犬である。従って、ポチは動物である」ある項 a について公理スキーマとして記号的に表すと以下...
数学とか 1×0=0と1×1=1の証明
自然数の乗法定義自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義するならば、su...
数学とか 1+1=1×2の証明
自然数の加法と乗法定義自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義す...
数学とか 偶数と奇数の述語論理の表現
なんとなくで述語論理の論理式を作ってみます。偶数と奇数を述語論理で表現してみます。我流なので悪しからず。述語論理の練習偶数∀k∈Ν∃x∈Ν(2k=x)任意の自然数kに対するある自然数xが存在する、それは2k=xを満たすような関係である任意に...
数学とか 述語論理の全称記号と存在記号
命題論理は一通り終わったので、発展形の述語論理へ進みます。ここから数学っぽくなります。全称記号と存在記号定義全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である...