暇つぶしに見て 二次元の双対
集合の双対 上の我流で「双対関係」に文脈を与える試みの続き。 双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（...
素朴集合論
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 双対と概念の創造
双対の文脈を読解してみる 再び双対と遭遇。こいつは強敵。 そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。 字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。 何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価...
暇つぶしに見て 頭の体操 その二
A,B,C(仮定) A→A∨(B∨C)(∨導入→導入) B→A∨(B∨C)(∨導入→導入) C→A∨(B∨C)(∨導入→導入) A∨B(仮定) A∨(B∨C)(∨除去) A∨B→A∨(B∨C)(→導入) (A∨B)∨C(仮定) A∨(B∨C...
暇つぶしに見て 集合の濃度
参考書。 勝手に解釈すると A〜B は対応関係。一対一関係。 集合A,Bの濃度a,bの定義。 A〜B₁,B₁⊆B という規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。 上で定義した関係は |A|≤|B| と別の記号...
暇つぶしに見て 頭の体操
集合Aの部分集合とはすなわちべき集合とその濃度。 二つの要素を持つ集合のべき集合の要素数は A=aがある B=bがある と定義すると要素の組み合わせは四通り (A,¬B)(¬A,B)(¬A,¬B)(A,B) べき集合の任意の要素xについては...
暇つぶしに見て 集合の濃度と全単射
とりあえず1か月振りなのでこれまでの流れを復習します。 ここまでの流れ。集合について学んでいると同値関係って言葉が頻出したので、かなり脱線して「同値」って何ぞやってことをWikipediaの記事を潜って学んでいました。同値類は反射律、推移律...
暇つぶしに見て 論理包含の法則その2 トートロジーと三段論法
下の記事の続き。Wikipediaにある他の法則も導いていきます。 論理包含の法則 同語反復 まずWikipediaの一発目。 $P \rightarrow P$（同語反復）Wikipedia 【トートロジー（恒等式）】（こうしんしき、トー...
暇つぶしに見て 論理包含の法則からドモルガンの法則を導く
下のリンクの続き。論理包含の定義から導き出せる性質（法則）を考えていきます。 論理包含の法則 論理包含の定義 前回学んだ定義の復習。集合を一般化したような概念で論理的に結論を導く方法として定義され、現時点では上手く行っているようです。集合論...
暇つぶしに見て 「論理包含」で正気を失う
部分集合から集合の相等関係の法則を導く証明の際に使用した下の法則を理解するために論理包含を学びます。 【ドモルガンの法則】$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\right...
暇つぶしに見て 集合の相等関係と部分集合の法則
集合はモノの集まりと素朴には定義されます。集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。これは前回やりました。 今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（...
暇つぶしに見て 写像は関係の一種？
集合論の理解を進めようとする度に起こる僕の混乱を共有します。 「『=』は集合AとBの対応を表す写像なんだ！」と納得して順序関係に進もうと「≦」を見た瞬間に気が付きましたが、大小”関係”を表す「≦」は写像の定義満たしてません。 写像の定義では...
暇つぶしに見て 素朴集合論とラッセルのパラドックス
数学を学んでいる時間が今は一番楽しくて、息抜きとして心が疲れた時にだけやっていいって決めてはいるのですが、一度始めると5時間とかはあっという間で。学生の頃に目覚めてくれればね。よかったのに。 ボクシングを考えるのが疎かになっています。頭の片...