暇つぶしに見て 割り算 その五
乗法の0元以外で0を作れないのか、と。すなわち、0以外の元同士を作用させてx･y=0の結論を得られないのかと。 背理法を用います。 x≠0∧y≠0⇔x･y=0 x≠0∧y≠0⇒x･y=0(前提) x(仮定) x･1(乗法単位元) x･y･y...
乗法
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 割り算 その四
公理主義実数論には"0を除いた"実数に乗法単位元と逆元が定義されています。 それは何故か。 この話は以前触れたような気もしますが、割り算について考えるがてら、もう一度その理由について考えてみます。 除法その三で、0の乗法は任意の数に対して0...
暇つぶしに見て 割り算 その三
逆元 x/yの逆元は乗法一意性により (x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元) (x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義) (x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義) x/yの逆元 (x/y)⁻¹=y/x です。 ...
暇つぶしに見て 割り算
公理主義実数論の立場から除法≒割り算を考えます。 除法 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x, (∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1) ....
暇つぶしに見て 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...
暇つぶしに見て 頭の体操十二
ド・モルガンの法則 ふと、自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と感じるようになってきました。頭の中で遊ぶ分には面白いのですが。形式的に考え過ぎることがヒトの自然な思考から精神を引き剥がし、無味乾燥で無意味なことをしていると感じる時があり...
暇つぶしに見て 0⁰=1の証明
0の0乗 0⁰=1 であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定め...
暇つぶしに見て 我流負数定義の修正
前回に定義した負数の乗法は自然数の乗法の定義でいけるんじゃないか、と閃いたので試してみます。あとはマイナス×マイナスに関する乗法も定義しました。 a×-(s(0))(前提)a×s(0)×-1(定義)((a×0)+a)×-1(定義)(0+a)...
暇つぶしに見て 乗法の交換法則 その3
ようやく乗法の交換法則です。 乗法の交換法則 数学的帰納法が成立することを証明します。 a×b=b×a⇔a×s(b)=s(b)×a a×s(b)(前提)a×b+a(乗法定義)a×b+(a×0)+a(乗法定義)a×b+(a×1)(乗法定義)...
暇つぶしに見て 乗法の分配法則その2
下の記事の続き。 x(y+z)⇔xy+xyは証明できたので(y+z)x⇔yx+zxを証明します。 (x+y)×z=xz+yz 数学的帰納法の起点を作ります。 z=0の場合 (x+y)×0(前提)0(乗法定義) x×0+y×0(前提)0+0(...
未分類 1との乗法
昨日の交換法則には推論規則を満たさない欠点があったので、そこを修正するために試行錯誤していきます。 今回はそこを修正すべく別の手段を考えてみます。 1と任意の自然数の乗法についての定理を導きます。 a×1=1×a=a が定義から導けるのか、...
暇つぶしに見て 乗法の交換法則その2
乗法の交換法則 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + aWikipedia 0×a=a×0 任意のaに0をかけると、aの位置にかかわらず0となること...