暇つぶしに見て 必要十分条件と集合と同値関係
定義は定義として受け入れるとして、その心が知りたくなるのが人情。十分条件と必要条件を定義に背後にある心を考察していきます。 必要十分条件と同値関係 必要十分条件 というわけで十分と必要の日本語から。 【十分・充分】《ダナノ・副》物事が満ち足...
数学
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 論理包含と必要条件と十分条件と同値
論理包含の演算規則はは認識を一般化したものだと仮定して、もう少し論理包含について認識の側面から考えます。 論理包含の定義から同値という概念を演繹出来ます。僕がずっと抱いている「なぜ同値の定義の形はそうなっているのか」という疑問の答えへ繋がっ...
暇つぶしに見て 認識と論理包含と混乱
論理学は人の認識の一般化です。人が開発したのだから当たり前ではありますが、見落としてしまいがち。 人の認識を土台として集合や写像という概念は開発された、という視点に立てば数学の見え方が変わってきます。 複雑に見える概念であっても、集合や写像...
よもやま話 認識の一般化
集合論やろうと思って入門書まで買ったのに。脱線に次ぐ脱線で全く意図しない方向へ走りだしてしまっています。 証明の正しさとは何かってことで数学の定義する正しいを見ていきました。演繹、三段論法と推論規則などなど。 納得したと思ったらまだモヤモヤ...
暇つぶしに見て 帰納と演繹と推論の妥当性
前回は「そういえば当たり前のように数学の証明の手続きを受け入れてしまっているけど、推論の確かさの定義ってどうなってんの」ってことで一通り調べて、一応の納得できました。 その時はそれで終わったのですが、ふと車の運転中に「『前提が全て真なら結論...
暇つぶしに見て 素数が無限にある証明を背理法で
論理的に正しいと定義される推論の形式の続き「背理法」を見ていきます。 背理法 定義 【背理法】とは、ある命題Pを証明したいときに、Pが偽であることを仮定して、そこから矛盾を導くことによって、Pが偽であるという仮定が誤り、つまりPは真であると...
暇つぶしに見て 【モーダスポネンス】単純で妥当な論証 【前件肯定】
論理的な論証とは何かを前回学びました。それは「前提が真であれば結論が真となる「妥当」且つ、前提が全て真である「健全」な論証のことでした。妥当性は論証が形式的に正しいかどうか、健全性は具体的に前提の命題が真であるかどうかが焦点です。 前件肯定...
暇つぶしに見て 集合の濃度と全単射
とりあえず1か月振りなのでこれまでの流れを復習します。 ここまでの流れ。集合について学んでいると同値関係って言葉が頻出したので、かなり脱線して「同値」って何ぞやってことをWikipediaの記事を潜って学んでいました。同値類は反射律、推移律...
暇つぶしに見て 論理包含の法則その2 トートロジーと三段論法
下の記事の続き。Wikipediaにある他の法則も導いていきます。 論理包含の法則 同語反復 まずWikipediaの一発目。 $P \rightarrow P$（同語反復）Wikipedia 【トートロジー（恒等式）】（こうしんしき、トー...
暇つぶしに見て 「論理包含」で正気を失う
部分集合から集合の相等関係の法則を導く証明の際に使用した下の法則を理解するために論理包含を学びます。 【ドモルガンの法則】$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\right...
暇つぶしに見て 集合の相等関係と部分集合の法則
集合はモノの集まりと素朴には定義されます。集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。これは前回やりました。 今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（...
暇つぶしに見て 集合と概念と概念を創る
以下の記事で存在についての僕の個人的なイメージが少しだけ作られました。存在を定義する、概念を創るとは対象となる概念とそれ以外の概念との関係を明らかにすることであると現時点では納得できます。「動物」って概念の上に何らかの関係を定義することで「...