股関節おじさんの勉強部屋 全称命題と存在命題の関係
wikiにこうあります。
全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。Wikipedia
これを確かめたい。
全称命題否定と存在命題
証明
wikiの文章だけだと意味が捉えにくいので、僕なりの解釈で翻...
数学
股関節おじさんの勉強部屋 股関節おじさんの勉強部屋 存在除去の認識
存在除去
定義
∃x∈X:A(x)⊢A(c)WIIS
命題Aを満たす集合Xの元xが存在する場合、∃の除去は妥当な推論である。またしても分かったような分からんような。
証明の途中で命題の定義を満たすような何がが演繹で...
股関節おじさんの勉強部屋 全称除去の定義と練習問題
述語論理における全称記号∀を取り除く推論規則を見ていきます。
別名を普遍例化と呼ぶようです。
全称除去(普遍例化)
定義
例:「全ての犬は動物である。ポチは犬である。従って、ポチは動物である」ある項 a について公...
股関節おじさんの勉強部屋 全称導入の練習問題
やりながら全称導入の理解を深めます。
全称導入
∀x∀yP(x, y) ⊢ ∀y∀xP(x, y)
1.∀x∀yP(x, y)(前提)2.∀yP(x,y)(∀除去)3.P(x,y)(∀除去)4.∀xP(y)(∀導入)5....
股関節おじさんの勉強部屋 全称導入と仮定の解消
∀導入定義の人の認識を結びつけるために藻掻きます。
全称導入と仮定の解消
定義
これが全称導入の定義
A(c)⊢∀x∈X:A(x)WIIS
A(c)の論理式を満たすようなcは集合Xの任意の要素xに対しても成立...
股関節おじさんの勉強部屋 含意の結合法則
結合法則は(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)のようなかっこの位置を入れ替えても意味が変わらない法則。含意にも成り立つのか確かめてみます。
含意の結合法則
証明
1.(A→B)→C(仮定)2.¬(¬A∨B)∨C(同値変形)3....
股関節おじさんの勉強部屋 ∀除去練習問題
∀除去の理解が曖昧なので練習問題やります。やってれば何か掴んでくるだろうってことで。
全称除去
練習問題
その1 P(d) , ∀x(P(x) → (P(x) → Q(x))) ⊢ Q(d)
1.∀x(P(x)→(...
股関節おじさんの勉強部屋 全称導入
所謂一般化ってやつじゃないなと。全称記号∀除去は別名「普遍汎化」とも呼ぶようです。
普遍汎化
定義
もし$\displaystyle \vdash P(x)$が導出されていれば、$\displaystyle \vdash...
股関節おじさんの勉強部屋 自然数の0×x=0の証明
x×0=0は定義通り。
0×x=0
証明
数学的帰納法を用います。
x=0の場合は定義通り。1.0×02.0…(1)
x=1の場合1.0×1(仮定)2.(0×0)+0(定義)3.0+0(1)より4.0…(2)...
股関節おじさんの勉強部屋 自然数の0+x=xの証明
x+0=xは定義されていますが、逆バージョン0+x=xは証明定義されていませんのて証明していきます。
0+x=x
証明
1.0+0(仮定)1.0(加法定義)3.0+0⇔0…14.0+1(仮定)5.S(0+0)(加法定義)...
股関節おじさんの勉強部屋 1×0=0と1×1=1の証明
自然数の乗法
定義
自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定...
股関節おじさんの勉強部屋 1+1=1×2の証明
自然数の加法と乗法
定義
自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := su...