よもやま話 「群」って何がしたいねん
公理主義実数論 集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう： （結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ...
暇つぶしに見て
よもやま話 暇つぶしに見て 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...
暇つぶしに見て 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値 A={ℝ∈x|a≤x≤b} maxA=b,minA=a 非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると ∀x(0,x)∈ℝ⁺≤ 正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は minℝ⁻=0...
暇つぶしに見て 0⁰=1の証明
0の0乗 0⁰=1 であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定め...
暇つぶしに見て ヒルベルトの公理に我流解釈を与える
WIISの公理主義的実数論を読み進めていると、再び公理主義とは、との疑問が頭をもたげてきました。それは直観としては、仏教の縁起に似た、認識(≒数学or論理)の規則をより抽象的に捉えようとする試みだと解釈しています。 ウィキペディアの英語版に...
暇つぶしに見て 頭の体操八
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...
暇つぶしに見て 頭の体操七
逆元の逆元 -(-x)は逆元の逆元という意味。裏の裏は表、の証明。 公理主義実数論の公理から。 ∀x,∃-x∈ℝ:x+(-x)=0 任意の元xを選ぶとその逆元は必ず存在します。 (-x)+(-(-x))=0(R3) -(-x)+(-x)=0...
暇つぶしに見て 整数
参考書WIIS 実数や整数の濃度を比較して遊ぼうとすると、どうしてもその定義を知らなきゃならんことがあります。というわけでとりあえず現時点の理解をまとめます。 可算無限 「自然数の濃度と偶数の濃度は同じ」について。自然数とその真部分集合であ...
暇つぶしに見て 群
濃度の件で、そう言えば代数的数なるものがあったなと。果たしてその濃度はどれほどか証明しよう、と思い立ったのですが、『そもそも「代数的数」を知らん』と気が付きました。 深掘りしたら「群」という概念と遭遇。 情報の大部分が捨像されたような定義だ...
暇つぶしに見て 頭の体操四
可付番集合 可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう ウィキペディア 自然数との全単射性が認められる集合が可付番。 偶数は可付番 偶数2...
暇つぶしに見て 頭の体操 その三
対偶 A={(x,y)∈ℝ²|y³+yx²≤x³+xy²} B={(x,y)∈ℝ²|y≤x} ⊂集合を論理の包含関係→⇒と解釈します。 y³+yx²≤x³+xy²(仮定) y(y²+x²)≤x(x²+y²)(分配法則) y(x²+y²)≤x...
暇つぶしに見て 二次元の双対
集合の双対 上の我流で「双対関係」に文脈を与える試みの続き。 双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（...