数学とか 論理積と論理和の結合法則
結合法則の演繹命題論理の結合法則を自然演繹の推論規則から導いてみます。結合法則は加法なら(A+B)+C=A+(B+C)と同値変形できる法則のことです。論理積の結合法則の証明1.A∧(B∧C)(前提)2.A,B∧C(除去)3.A,B,C(除去...
数学とか
数学とか 数学とか 論理積と論理和の分配法則 その2
論理積と論理和の分配法則その1の続き。証明(A∨B)∧(A∨C)→A∨(B∧C)の同値変形を目指します。1.(A∨B)∧(A∨C)2.A3.A∨(B∧C)(∨導入)4.A→A∨(B∧C)(→導入)5.,C6.B∧C(∧導入)7.A∨(B∧C...
数学とか 論理積と論理和の分配法則 その1
今回はA∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)の分配法則です。論理積と論理和の分配法則前回と同じ戦略です。証明1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)7....
数学とか 否定の導入
別の記事でもやりましたが、復習もかねて簡潔に否定の推論規則だけ復習します。否定の導入⇔背理法Pであると仮定し矛盾（恒偽式）が導けた場合、¬Pが演繹できます。ある人が長濱陸であるとする命題Pを仮定して、如何なる解釈においてもその人の身長、性別...
数学とか 閉じた仮定と開いた仮定
命題論理と自然演繹の仮定について復習も兼ねて現時点での僕の概観をまとめていきます。数学や論理学は「仮定」や「これだけは正しいと認めてしまおう」と歴史的に合意されたある公理に「これだけは正しいと認めてしまおう」と合意された変形（推論）の規則を...
数学とか 論理和と論理積の交換法則
A∨B=B∨A,A∧B=B∧Aの自然演繹。前提A,Bから出発して仮定の導入、解消でやれないか挑戦してみます。論理和の交換法則1.A∨B(前提)2.A(仮定1)3.B∨A(∨導入)4.A→B∨A(→導入.仮定1解消)5.B(仮定)6.B∨A(...
数学とか ド・モルガンの法則の自然演繹
ド・モルガンの法則ド・モルガンの法則A∨B⇔B∨Aを導きたいってこどネットを徘徊していたところ「論理和の交換法則はこの論理展開で行くんじゃない？」とヒントになりそうなものを発見しましたので共有します。ド・モルガンの法則の自然演繹です。1.A...
数学とか 論理和と論理積の冪等律
同値関係についてもう少し掘り下げてやろうと思います。冪等律冪等律【冪等律】数学において、冪等性（べきとうせい、英: idempotence、「巾等性」とも書くが読み方は同じ）は、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果が同じ...
数学とか 仮説的導出と論理和の除去
A∨B⇔B∨Aに繋がりそうな考え方を学んでいきます。仮説的導出と論理和の除去【仮説的導出】数理論理学での一般的操作として、「仮定からの推論; reasoning from assumptions」がある。例として、次のような演繹過程を見てみ...
数学とか 反射律と対称律と推移律と代入原理
また等しいについて考えながら数学の思想を感じていきます。等式の定義と同値関係の定義等式の定義【等式】通常、等号は以下の２つの公理によって定義される：反射律: 対象 a が何であっても a = a は常に成り立つ。代入原理: 対象 a, b ...
数学とか 論理式の定義と括弧の意味
論理和と論理積の結合則、交換則を推論規則から演繹しようと思って挑戦。やりながら論理式と括弧が気になってきました。そういえばどんなルールがあるのだろうと。論理式と二項演算と括弧論理式の定義Wikipediaには以下のように説明されています。論...
数学とか 自然数の定義と人の認識
人の認識を延長したものが含意、さらにその含意を延長し集合を含む概念にしたのが写像、関数。この文脈から自然数の定義にどんな物語が与えられるのかを見ていきます。人の認識って文脈から数学を理解しようって試みであくまでも長濱説、我流です。写像と含意...