暇つぶしに見て 「健全且つ妥当」な推論の手続き
論理包含の法則とか眺めていたらふと、思ったことがあって。それは数学的（論理的）に証明が正しいことの定義ってどうなっているのだろうと。この手順を踏んだ場合のみ、前提から導き出した推論は正しいと言っていいって公理があるはずですが、そういえば知ら...
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暇つぶしに見て 集合の濃度と全単射
とりあえず1か月振りなのでこれまでの流れを復習します。 ここまでの流れ。集合について学んでいると同値関係って言葉が頻出したので、かなり脱線して「同値」って何ぞやってことをWikipediaの記事を潜って学んでいました。同値類は反射律、推移律...
暇つぶしに見て 論理包含の法則その2 トートロジーと三段論法
下の記事の続き。Wikipediaにある他の法則も導いていきます。 論理包含の法則 同語反復 まずWikipediaの一発目。 $P \rightarrow P$（同語反復）Wikipedia 【トートロジー（恒等式）】（こうしんしき、トー...
暇つぶしに見て 論理包含の法則からドモルガンの法則を導く
下のリンクの続き。論理包含の定義から導き出せる性質（法則）を考えていきます。 論理包含の法則 論理包含の定義 前回学んだ定義の復習。集合を一般化したような概念で論理的に結論を導く方法として定義され、現時点では上手く行っているようです。集合論...
暇つぶしに見て 「論理包含」で正気を失う
部分集合から集合の相等関係の法則を導く証明の際に使用した下の法則を理解するために論理包含を学びます。 【ドモルガンの法則】$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\right...
暇つぶしに見て 集合の相等関係と部分集合の法則
集合はモノの集まりと素朴には定義されます。集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。これは前回やりました。 今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（...
暇つぶしに見て 集合と概念と概念を創る
以下の記事で存在についての僕の個人的なイメージが少しだけ作られました。存在を定義する、概念を創るとは対象となる概念とそれ以外の概念との関係を明らかにすることであると現時点では納得できます。「動物」って概念の上に何らかの関係を定義することで「...
暇つぶしに見て 関係によって存在が定義される
底なし沼ですね。納得することはできるのだろうか。「存在」について僕の考えを書き出していきます。 上の記事で解説しているように「存在」と「関係」は別の性質を持つ概念ではないのか？って発想へ行き着きました。となると「存在」って、つまり概念を創る...
暇つぶしに見て 存在と関係
僕の中で解決していない問題。「等しい」について。 等号がスタートです。以下僕の頭の中を書き出して整理します。 等号って何だろうな。Wikipediaぽち。 【等号】等号の左右が等価であることを表し、等号で結ばれた数式を「等式」と呼ぶ。Wik...
暇つぶしに見て 自然数の加法の定義から交換法則を導く
結合法則を導く証明の次は交換法則。 交換法則はa*b = b*aが満たされる性質のことです。例えば加法と乗法は1+2 = 2+1 = 31*2 = 2*1 = 2で演算の順番を入れ替えても結果は変化しません。 結合法則の時もそうでしたが、交...
暇つぶしに見て 二項演算とマグマと写像
プログラミングでもやっていない限り「演算」は日常的には使いませんが、かっこい言葉ですよね。代表的な演算は四則演算と呼ばれ、+,-,×,÷の記号で表されます。 【二項演算】集合の一つの元（幾つかのものの組であってもよい）に他の一つの元を対応さ...
暇つぶしに見て 自然数の加法の定義から結合法則を導く
順序集合（関係）の定義を学んでいるのですが、反射律やら推移律やら反対称律やら。「相等」関係をやった時にも出てきた概念です。「意味は分かる、だけどその心は？」って感じです。 というわけでネットを徘徊。少しづつ「もしかして『順序』の概念は自然数...