ランダウの記号

定義式のMで躓きました。どうしてそれが必要なのか。

結論から言えば、ランダウ記号の定義のMは、対象とする関数のノイズを詰め込む袋です。

定義の$M$
オーダー

定義の$M$

たとえば二次関数 3×2 + 4x + 10 が x を限りなく大きくしたときどのように増大するかを考えると、変数 x が 2 より大きければ第一項 3×2 が他の項より大きく、さらに大きくなるほど支配的になることがわかる。漸近解析をする上では定数倍のような詳細は必要としないことが多く、O-記法を用いると、必要な情報を

$\displaystyle 3x^{2}+4x+10=O(x^{2})$

と端的に表すことができる。

定義
十分大きい全ての実数 x に対し定義されている実数値関数 f(x) と g(x) に対し、

$\displaystyle f(x)=O(g(x))\quad (x\to \infty )$を
$\displaystyle {}^{\exists }x_{0},{}^{\exists }M>0\quad {\text{ s.t. }}\quad {}^{\forall }x\;[x>x_{0}\Rightarrow |f(x)|\leq M|g(x)|]$

と定義し、「f(x) が x → ∞ のときオーダーO(g(x)) である」と呼ぶ。

ウィキペディア

ランダウ記号の定義の構成はε-論法に似ています。

ランダウ記号は、$g(x)$に対してf(x)$が無限大(小)へ向かう程に無視できる程に小さくなって欲しい。

そうすることができれば、つまり、ある関数を構成する任意の項の、その関数全体への影響力を正しく評価して、かつ無視してよい程度の影響力しか持たない項を決めることができれば、複雑に曲がった関数を無限に微分せず、ある項以降はランダウ記号に詰め込んで無視できます。

その為には、$f(x)≦g(x)$だけではダメなのです。$f(x)≦Mg(x)$でなければならないのです。

オーダー

ランダウの記号$O$記法）は、関数やアルゴリズムの計算量が極限$\infty$や$0$でどのように振る舞うかを表す指標です。最上位の項と定数倍を無視し、大まかな増加速度や収束スピード（オーダー）のみを評価します

AI

$3x^{2}+2x+1=O(x^{2})(x→∞)$①
ランダウ記号は、上の関数が$x^{2}$の仲間だと言う方法を提供しています。

①はxを無限大に飛ばせば、確かに全体の挙動としては$x^{2}$と見なせそうな気はします。

他の式。
$0<x,2x^{2}+200x+5x+1=O(x^{2})(x→∞)$
上の式が$x^{2}$の仲間である(オーダー)ことを示したいですが、厳密には
$2x^{2}+200x+5x+1≦x^{2}$
ではありません。つまり$x^{2}$の範囲を超えます。

ただし、大まかな収束速度(オーダー)は$x^{2}$である気がします。

そこで$M$の登場です。

十分に大きなMを選べば、例えば$200M$を取れば、$2x^{2}+200x+5x+1≦200x^{2}$を構成でき、ランダウ記号の定義を満たします。

すなわち、
$2x^{2}+200x+5x+1=O(x^{2})(x→\infty)$
と表記できます。
ランダウ記号に細部のノイズを吸収させて、上の式のオーダー(収束速度)は$x^{2}$だと言うことができます。

具体的な背性質ではなく抽象的な性質を扱う時に有用なのだと思います。

多分、こんな感じでテイラー展開に繋げたい。