上の続き。
行列を学ぶ為に数の配置(構造)からその性質を連想する練習。
総和の性質
級数と総和の違いは↓
有限和の場合を拡張して、可算無限個の元の列 x1,x2, … に対しても総和を定義することができる。これを特に無限和 (infinite sum)、無限級数 (infinite series) あるいは単に級数（きゅうすう、series）と呼ぶ。
$\sum_{i=1}^{n} 0 =0$
0を何個足しても0。感覚的には自明ですが。
$0+0=0$(加法単位元)
(0+0+0)(仮定)
(0+0)+0(結合法則)
0+0+0=0(加法単位元)
あるいは「0は何倍しても0(乗法零元)」
$\sum_{i=1}^{n}1=n$
これも1をn回たしたらって話なんで自明に感じますが。これも上のと同様に。
$\sum_{i=1}^{1}1=1$(総和定義)
$\sum_{i=1}^{1+1}1=1+1=2$(総和)…①
$\sum_{i=1}^{n}1=n$(仮定)…②
$\sum_{i=1}^{n+1}1=n+1$(自然数加法)
$\sum_{i=1}^{n}1=n⇒\sum_{i=1}^{n+1}1=n+1$(⇒導入)
①②より数学的帰納法により無限回の証明が省かれますので、
$\sum_{i=1}^{n}1=n$…#
上の論理を敷衍。
常にCだけを吐き出す関数をn個足す。
$\sum_{i=1}^{n} C=\sum_{i=1}^{n}C･1=C･n=n･C$(#)
$\sum_{i=1}^{n}C=nC$…②
$\sum_{i=1}^{n} x^{2}=\dfrac{1}{6}x(x+1)(2x+1)$
平方の和の公式と呼ばれる。
$(x+1)^{3}$(仮定)
$(x+1)^{2}(x+1)$(指数関数)
$(x^{2}+2x+1)(x+1)$(展開法則)
$x^{3}+2x^{2}+x+x^{2}+2x+1$(分配法則)
$x^{3}+3x^{2}+3x+1$(加法)…①
xの3乗とその次の3乗の差を求める。
上の①を利用して
$(x+1)^{3}-x^{3}$(仮定)…※1
$3x^{2}+3x+1$(①)
この総和をとる
$3\sum_{i=1}^{x}x^{2}+3\sum_{i=1}^{x}x+\sum_{i=1}^{x}1$(総和の係数)
さっき証明した$\sum_{x=1}^{n}1=n$
と、「総和の性質その一」で証明した天才ガウスの式を合わせて上の式を変形すると
$3\sum_{x=1}^{x}x^{2}+3\dfrac{1}{2}n(n+1)+x$…※2
また、※1の左辺に自然を各個代入して地道に展開したとすると
$2^{3}-1^{3}+3^{3}-2^{3}+…n^{3})+(n+1)^{3}$(代入)
これに結合法則と交換法則を用いれば
$1^{3}+(2^{3}-2^{3})+(3^{3}+3^{3})…n^{3})+(n+1)^{3}$
$(n+1)^{3}-1^{3}$(結合法則)
$(n+1)^{3}-1$(加法逆元)…※3
各々の左右の項が打ち消し合い※3に変形できる。
※2と※3を等号で結ぶ。
$3\sum_{i=1}^{x}x^{2}+3\dfrac{1}{2}x(x+1)+x=(x+1)^{3}-1$(仮定)
$3\sum_{i=1}^{x}x^{2}=(x+1)^{3}-1-3\dfrac{1}{2}x(x+1)-x$(加法逆元)
$(x+1)^{3}-3\dfrac{1}{2}x(x+1)-x-1$(交換法則)
$(x+1)^{3}-3\dfrac{1}{2}x(x+1)-(x+1)$(分配法則)
$(x+1)\{(x+1)^{2}-3\dfrac{1}{2}x-1\}$(分配法則)
$(x+1)\{(x^{2}+2x+1)-\dfrac{3}{2}x-1\}$(展開法則)
$(x+1)\{\dfrac{2(x^{2}+2x+1)}{2}-\dfrac{3x}{2}-\dfrac{2}{2}\}$(乗法逆元)
$(x+1)\dfrac{2x^{2}+1x}{2}$(加法逆元)
$x(x+1)\dfrac{2x+1}{2}$(分配法則)
$3\sum_{i=1}^{x}x^{2}=x(x+1)\dfrac{x+1}{2}$(推移律)
$\sum_{i=1}^{x}x^{2}=x(x+1)\dfrac{2x+)}{6}$(乗法逆元)
$\sum_{i=1}^{x}x^{2}=\dfrac{1}{6}x(x+1)(2x+1)$
ウィキペディア先生に問題を教えてもらってはじめましたが、$(x+1)^{3}$の導入を探すのが難しい。
入口を見つけられたら機械的に演繹するだけだけど。この入口を見つけるのってどうやるの？
行列？Gemini先生に聞いてみよう。
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