無理数は何処にいるのかと探索しながら対数の森へ迷い込みました。
対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。
1 でない正の実数 a および正の実数 x に対し
- $x=a^{p}$
- を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p を x の a を底とする対数として定義する。x に対して a を底とする対数を loga x と表わせば、上記の方程式を満たす p は以下のように書き換えることができる。
- $p=log_{a}x.$
- この対数の定義はレオンハルト・オイラーによる（1728年）。
- 正の実数 a ≠ 1 について、正の実数 x を変数にとる実数値連続関数 fa (x) として
- $\displaystyle {\begin{aligned}f_{a}(xy)&=f_{a}(x)+f_{a}(y)\\f_{a}(a)&=1\end{aligned}}$
- を満たすものを
- $\displaystyle f_{a}(x)=\log _{a}x$
- と書き、この関数 loga x を a を底とする対数関数と呼ぶ。
- ウィキペディア
- 連続関数とは、そのグラフが途中で途切れることなく、どこまでもつながっている関数を指します。
- 引用AI
$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$
指数法則
$a^{x+y}=a^{x}･a^{y}$
指数関数は
ℝ→ℝ₊₊
の関数。
任意の実数を正の実数へ送る関数。
ℝ₊₊→ℝ
の一対一対応だけを考えるなら、対数関数は指数関数の逆関数と見なせます。
例えば
$\log_2{4}=x⇔2^{x}=4$
と一対一の対応関係を考えられます。
一般化すると
$\log_a{y}=x⇔a^{x}=y$
と変形できます。
$\log_a{x}=X$(対数定義)…①
$\log_a{y}=Y$(対数定義)…②
$x ･y=a^{X}･a^{Y}=a^{X+Y}$(指数法則)
$\log_a({x･y})=X+Y$(対数定義)…③
①②③より、代入して
$\log_a({x･y})=X+Y=\log_a{x}+\log_a{y}$
$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$(推移関係)
同様に
$\log_a{\frac{x}{y}}⇔\log_a{x}-\log_a{y}$
が成り立ちます。
$\log_a{x^{p}}=p\log_{x}$
見出しの変形の証明。
$\log_a{x}=X$(対数定義)…①
$x^{p}=(a^{X})^{p}=a^{Xp}$(指数法則)
$\log_a({x^{p}})=\log_a({a^{Xp})}=Xp$(対数定義)
$\log_a{x^{p}}=Xp$(=推移関係))
$\log_a{x^{p}}=p\log_a{x}$(①と対称関係)
よって
$\log_a{x^{p}}=p\log_{x}$
$\log_a{\frac{1}{x}}=-\log_a{x}$
$∀a∈[ℝ-0]⇒a^{0}=1⇔\log_a{1}=0$(対数定義)…①
$\log_a{\frac{1}{x}}$(仮定)
$\log_a{1･x\frac{1}{x}}$(乗法定義)
$\log_a{1}-\log_a{x}$(対数法則)
$0-\log_a{x}$(①)
$-\log_a{x}$(加法単位元)
$\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$
$X=\log_a{x}$…①
$Y=\log_b{x}$…②
$\log_b{x}=\log_b{a^{X}}$(仮定)
$\log_b{x}=X･\log_b{a}$(対数法則)
$\log_b{x}=\log_a{x}･\log_b{a}$(①)
$\dfrac{\log_b{x}}{\log_b{a}}=\log_a{x}$
練習問題
チャッピーに問題を出してもらいましたを
1.$\log_2{8}$
を計算しなさい。
$\log_2{2³}=3$
2.$\log_3{81}-\log_3{9}$
を計算しなさい。
$\log_3{81･9⁻¹}$(対数法則)
$\log_3{9}=3$(対数定義)
3.$\log_5{x}=3$
を計算しなさい。
$125=5³$
4.$y=\log_2{x-3}$の定義域を求めなさい。
対数関数は、その定義より
対数関数
$\log_a{x}$
の定義域は底a>0∧a≠1,x>0
底は2>0なのて問題なし。
真数は、
3>xならx-3>0になります。
よって、x>3ならば対数関数の定義域の条件を満たします。
5.$\log_2{8}$を常用対数で表しなさい。
$\log_2{8}=\dfrac{\log_{10}8}{\log_{10}2}$(底の変換法則)
$\log_2{8}=\dfrac{\log_{10}2^{3}}{\log_{10}2}$(指数定義)
$\log_2{8}=\dfrac{3\log_{10}2}{\log_{10}2}$(対数法則)
$3$(乗法逆元)
6.$\log_{4}2$を$\log_2$で表せ。
$\dfrac{\log_2{2}}{\log_{2}4}$
$\dfrac{1}{2}$
指数を基点にするなら。
$\log_{4}2=x⇔4^{x}=2$
$x=\dfrac{1}{2}$
7.$\log_7{49}$を$\ln$で表せ
$\dfrac{\ln{47=\ln7^{2}}}{\ln{7}}$(仮定)
$\dfrac{2\ln{7}}{\ln{7}}$(対数法則)
$2$(乗法逆元)
8.$\log_{3}5･\log{5}7$を簡単にせよ。
$\log_{3}5=\dfrac{\log_{c}5}{\log_{c}3}$(対数法則)…①
$\log_{5}7=\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}5}$(対数法則)…②
$\dfrac{\log_{c}5}{\log_{c}3}･\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}5}$(①②)
$\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}3}$
$\log_{3}7$
9.$/log_ {a}b･\log_{b}c･log_{c}a=1$を証明性せよ。
底の変換法則により、底をdとする対数に変形。
$log_{a}b=\dfrac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$
$log_{b}c=\dfrac{\log_{d}c}{\log_{d}b}$
$log_{a}b=\dfrac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$
それぞれの分母と分子がいい感じの構成。逆元により1へ送られます。
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