行列と連立方程式

連立方程式
収集した行列の定理図鑑の活用
1. 逆行列 $A^{-1}$ の公式
2. $x = A^{-1}b$

連立方程式

\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 7y = 18 \end{cases}

上の式を2倍して $4x + 6y = 16$ を作る。
下の式から引き算して $(4x + 7y) - (4x + 6y) = 18 - 16$ より $y = 2$ を導く。
$y = 2$ を元の式に代入して $x = 1$ を出す。

この程度なら中学校で習ったやり方でやれる。ただし仮に変数が1000個、1000行1000列とかになると手に負えなくなる。何を何倍して何を消して…と、どうすれば効率的に解が求まるのかを予るのが困難。かつ、100個中の1個消したところで。

解を求めるまでの準備段階で詰む。仮に、計算まで入れたとして、結果的に解が存在しない関数なら、解なしを導いてしまったら、絶望で自〇する。

自〇のを避けさせてくれるのが行列。

収集した行列の定理図鑑の活用

収集した定理を図鑑に登録し、いつでも参照できるようにしておく。

上の連立法で式を行列形式 $Ax = b$ で表現。

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}

ここで、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ について性質を図鑑で調べる。

逆行列 $A^{-1}$ の公式

$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

話が本筋から逸れないようにこれの導出は別に譲る。

$x = A^{-1}b$

$b$ を作用させる。左辺のAは正方行列だから、逆行列を作用させれば単位行列に変形される(※)。単位行列はベクトルに何もしない。
※これも導出は他に譲る

よって
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 56 – 54 \\ -32 + 36 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

今回の例だと行列積の方が煩雑に感じるが、次元が増えると既述のように話が変わってくる。

そもそもどの変数をどう消すのかを考えるのに膨大な時間がかかってしまう。

しかし、上の逆行列を作用させる手順を用いれば機械的に解ける。

「計算を簡単にした」よりは「計算に入るまでの煩雑な過程」を「計算処理に組み込んだ」と言う方が正しい。

また、行列が潰れているか否か、つまり。計算で解を導き出せるのか否か、も行列を使えば機会的に判断できる。
ひたすら解のない問題に取り組むって自〇を防げる。

この視点で見るなら、行列が偉大な発明だってわかるよね。