べき乗
実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0
を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。
乗法律引用WIIS
実数の定義引用WIIS
負の実数のべき乗
0<x<y∧0<z(仮定)
0<(y-x)z (乗法律)
0<xz-yx(分配法則)
yx<yz(加法逆元)
x<y∧0<z→yx<yz(→導入)
乗法の大小関係保存則。
1<xにおいて、xⁿは自然数nを大きくしていけば無限に発散します。
1<n∧1<x⇒x･1<x･x=x²<xⁿ(乗法の大小関係保存則)
0<x<1の場合は、xⁿは自然数nを大きくしていけば0に収束します。
1<n∧0<x<1⇒0<xⁿ⁺¹<xⁿ<x･1(乗法の大小関係保存則)
x<0の場合にxⁿついて考えます。
n=1ならは
x¹=x<0(∗∗)①
負の数xのx¹は負。
準備
-1+1=0(加法逆元)
-1+(-(-1))=0(加法逆元)
-1+1=-(1)+(–1)(同値関係)
1=-(-(1))(加法一意性)②
-a=-1･aと仮定※1。
準備が終わったので進みます。
n=2の場合
-x･-x(仮定)
-1･x･-1･x(※1)
-1･-1･x･x(交換法則)
1･x･x(②)
x²(単位元とべき乗)…③
負の実数の二乗は正。
n=3の場合
x³(仮定)
x²･x(∗∗)
0<x²∧x<0⇒x²･x<0(正と負の乗法)
指数が偶数なら負の実数のべき乗は正の無限へ、奇数なら負の無限へ発散しそう。
偶数の始めの要素となるn=2の場合は既に導出したので、次はその次以降を求めます。
nを任意の自然数とすると偶数は2n、その場合の後者は2(n+1)。
x²ⁿは無限へ飛ばされると仮定(数学的帰納法)
a²⁽ⁿ⁺¹⁾(仮定)
a²ⁿ⁺²(分配法則)
a²ⁿ･a²(指数の加法法則)
0<a²ⁿ(数学的帰納法仮定)
a²ⁿ<a²⁽ⁿ⁺¹⁾(乗法大小関係保存則)
0<a²ⁿ<a²⁽ⁿ⁺¹⁾(<推移関係)
負の実数かつ指数が自然数であるべき乗は正の無限へ発散する。
a²ⁿ⁺¹が負なら、a²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹も負になると仮定。指数が奇数の負の数のべき乗は負になることを証明します。
a²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹(仮定)
a²ⁿ⁺²⁺¹
a²ⁿ⁺¹･a･a(∗∗)
任意の負の数の2n+1乗は負、かつ正と負の乗法は負。よってa²ⁿ⁺¹･a･aは負。
負の実数の乗法は、負の無限大へ発散します。
負の数のべき乗は振動するように正と負の無限に発散することが証明されました。
0⁰=1
0⁰(仮定)
0⁽⁻¹⁺¹⁾(加法逆元)
0⁻¹･0¹(∗∗)
1(乗法逆元)
形式的には任意の実数の0乗は0です。
僕だけかもしれませんが、
a･a･a…
は感覚的にはa同士を何度もかけること。
つまり、直感的には、「aを0回かけると1になる」と言われているので不思議に感じます。
「0個在る」は「ある枠組みの中での無い状態が在る」の意味です。
0⁰=1は上の文と文の構造が似てるのかなと。
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