べき乗
実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0
を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。
1<xにおいて、xⁿは自然数nを大きくしていけば無限に発散します。
0<x<1の場合は、xⁿは自然数nを大きくしていけば0に収束します。
x<0の場合にxⁿついて考えます。
n=1ならは
x¹=x<0(∗∗)①
負の数xのx¹は負。
準備
-1+1=0(加法逆元)
-1+(-(-1))=(加法逆元)
-1+1=–1+(-(1))(同値関係)
1=-(-(1))(加法一意性)②
-1･-1=-(-1)=1
-a=-1･aと仮定※1。
準備が終わったので進みます。
n=2の場合
-x･-x(仮定)
-1･x･-1･x(※1)
-1･-1･x･x(交換法則)
1･x･x(②)
x²(単位元とべき乗)…③
負の実数の二乗は正。
n=3の場合
x³(仮定)
x²･x(∗∗)
0<x²∧x<0⇒x²･x<0(※1)
指数が偶数なら負の実数のべき乗は正の無限へ、奇数なら負の無限へ発散しそう。
偶数の始めの要素となるn=2の場合は既に導出したので、次はその次以降を求めます。
nを任意の自然数とすると偶数は2n、その場合の後者は2(n+1)。
a²⁽ⁿ⁺¹⁾(仮定)
a²ⁿ⁺²(分配法則)
a²ⁿ･a²(∗∗)
a<0∧a²⇒0<a²(負のべき乗)
0<a²ⁿ(数学的帰納法仮定)
0<a²ⁿ∧0<a²⇒0<a²ⁿ･a²(乗法律)
0<a²ⁿ∧0<a²⇒a²⁽ⁿ+¹⁾(∗∗)
負の実数の指数が自然数であるべき乗は正の無限へ発散する。
a²ⁿ⁺¹が負なら、a²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹も負になると仮定。指数が奇数の負の数のべき乗は負になることを証明します。
a²⁽⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹⁾(仮定)
a²⁽ⁿ⁺¹⁾･a･a(∗∗)
任意の数の2n乗は正、かつ正と負の乗法であると数学的帰納法の仮定より、a²⁽ⁿ⁺¹⁾･a･aは負。
負の数のべき乗は正と負の無限に発散することが証明されました。
0⁰=1
0⁰(仮定)
0⁽⁻¹⁺¹⁾(加法逆元)
0⁻¹･0¹(∗∗)
1(乗法逆元)
形式的には任意の実数の0乗は0です。
僕だけかもしれませんが、
a･a･a…
は感覚的にはa同士を何度もかけること。
つまり、直感的には、「aを0回かけると1になる」と言われているので不思議に感じます。
「0個在る」は「ある枠組みの中での無い状態が在る」の意味です。
0⁰=1は上の文と文の構造が似てるのかなと。
コメント