形式的な証明

まずは形式的な証明。

実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。

(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0

を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。

ウィキペディア

x⁰(仮定)
x^(1+(-1))(加法逆元)
x^(-1+1)(交換法則)
x⁻¹･x(∗∗)
x⁻¹･x¹(べき乗)
1(乗法逆元)
x⁰→1(→導入)

x⁰=1
任意の実数の0乗は1。

直感的な証明

2¹=2,2²=4,2³=8,2⁴=16…
2倍される法則がある。従って
2⁰=2･1/2=1
と予測できる。

2⁰=1
2を3にしても同様。

どうして0乗が1になると奇妙に感じるのだろう。

0×a=0

任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...

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2025.01.13

0⁰=1の証明

0の0乗 0⁰=1 であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定め...

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2025.01.05

マイナス×プラス=マイナス

マイナス×プラス=マイナス 0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。 -1･-1=1の証明。 -1+1=0(加法逆元) -1+-(-1)=0(加法逆元) -(-1)=1(加法一意性)① -a･-b(仮定) -1･-1･a...

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2025.04.23

1×0=0と1×1=1の証明

自然数の乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義するならば、

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1+1=1×2の証明

自然数の加法と乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定

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