順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。
- x+⋯+x⏟n<y.
「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「いかなる数よりも大きい状態」を表しているというのがより正確ということになる。従って、「∞」（無限大記号）というのは、「どの実数よりも大きな数を表す記号」ではなくて、こうした「いかなる数よりも大きくなるという状態を表す記号」ということになる。ただし、実際には、特定の数を表しているかのような（誤解されやすい）形で使用されているケースも多いものと思われる。
無限大、無限小は特定の数ではなく任意の数よりも大きくなる”論理的な構成”のこと。
アルキメデスの性質は無限小(無限小)が体系の中に存在しないことの要請。
その三では、アルキメデスの性質を認めた場合は
∃n∈ℕ,∀x,y∈ℝ:yx⁻¹<n
と演繹できました。
また、
ℕ⊂ℝ
であることを踏まえると、アルキメデスの性質は「自然数には上界(上限)がない」と言い換えられます。
極小(任意)のεより小さな1/n∈ℕは創れる
∃n∈ℕ,∀x,y∈ℝ:y≦nx(アルキメデスの性質)
∃n∈ℕ,∀x,y∈ℝ:n⁻¹≦xy⁻¹(乗法律)
∃n∈ℕ,∀x,y∈ℝ:1/n≦x/y(分数定義)
∃n∈ℕ,∀x,y∈ℝ:1/n≦ε
xは文脈的にはとても小さな数、yはとても大きな数と解釈できる。x/y=εと仮定。仮定よりεはとても小さな数。
つまりアルキメデスの性質は「任意の小さなεよりも小さな数を必ず創れる」と言い換えられます。
乗法律引用WIIS
加法律引用WIIS
[0<x<y](仮定)
x-x<y-x(加法律)
0<(y-x)(加法逆元)
[0<z](仮定2)
0<(y-x)z(乗法律)
0<yz-xz(乗法分配法則)
xz<yz-xz+xz(加法律)
xz<yz(加法逆元)
[(0<x<y)∧(0<z)](∧導入)
(0<x<y)∧(0<z)→xz<yz(→導入)①
乗法の<関係の保存則。
1<x(仮定)
x⁻¹<1(乗法逆元)
0<x⁻¹<1(①)
1<xは0<x⁻¹<1に変形可能。
1<x<y<z⇒0<z⁻¹<y⁻¹<z⁻¹1(乗法律と①)
1より大きな実数の乗法逆元は、常に0より大きく、かつ1より小さい。また、xが大きくなるほどx⁻¹は0へ近くづく。しかし0にはならない。
アルキメデスの性質より、自然数はどこまでも大きくなる。従って1/nはどこまでも0へ近づいていく。
また上に有界のA⊂ℝとなるAを定義すると、Aの上界U(A)の補集合U(A)^cの要素は、上限性質より、上限にどこまでも近づく。
aにどこまでも近づく論理的な構成ができる時、数列Aはaに収束すると定義する。また、その構成はaとみなすことを認める。
近似や極限の概念が現れてきてようやく数学ぽくなってきた。
数列の収束自然数の逆数の列 1, 1/2,1/3, …, 1/n, … を考えると、n を限りなく大きくしていくと一般項 1/nは限りなく 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを
$\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$
あるいは
$\displaystyle {\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )$
と書く。
カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {an} がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである（この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う）
:∀ε>0,∃n0∈N s.t. ∀n∈N[n>n0⇒|an−α|<ε]
（どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 n0 を十分大きく定めれば、n0 より先の番号 n に対する an は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる）これを用いると、an = 1
n の極限値は 0 であることを以下のようにして示すことができる。
無限大
記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。
大雑把に言えば、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付けは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きな（実数の範疇からはずれた）ある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）し、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系は1つだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞ (+∞) と −∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上では（本来なら考えない数だが）たとえば「∞+i」のような数を扱えるものも多い。
これまでに導出してきたアルキメデスの性質と同値な文をまとめると
1.自然数は上に有界ではない。
2.小さなxを膨大に足し合わせれば大きなyを上回ることができる。
3.任意の大きな実数xであっても任意の自然数で割り続ければ0に近似する。
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