アルキメデスの性質その三

暇つぶしに見て

2025.06.24

順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。

$x+\dots+x⏟n<y.$

ウィキペディア

「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「いかなる数よりも大きい状態」を表しているというのがより正確ということになる。従って、「∞」（無限大記号）というのは、「どの実数よりも大きな数を表す記号」ではなくて、こうした「いかなる数よりも大きくなるという状態を表す記号」ということになる。ただし、実際には、特定の数を表しているかのような（誤解されやすい）形で使用されているケースも多いものと思われる。

引用ニッセイ基礎研究所

アルキメデスの性質と同値になる性質を考えます。

アルキメデスの性質を満たすならばℕは上に有界ではない
[¬(∀n∈ℕ,∀x,∃y∈ℝ:nx<y)](アルキメデスの性質)
∃n∈ℕ,∃x,∀y∈ℝ:nx≧y(三分律と∀∃の¬定理)
¬(∀n∈ℕ,∀x,∃y∈ℝ:nx<y)→∃n∈ℕ,∃x,∀y∈ℝ:nx≧y(→導入)…①

上に有界ではないならばアルキメデスの性質を満たす
[∃x∈ℝ:x<n,∀n∈ℕ:n≦x](上界)
[¬(∃x∈ℝ:x<n,∀n∈ℕ:n≦x)](仮定)
⊥(矛盾)
¬(∃x∈ℝ,∀n∈ℕ:n≦x(背理法)
∀x∈ℝ∃n∈ℕ:n>x(∃∀言い換え)
x=y･z⁻¹(実数乗法の閉性)
∀x∈ℝ∃n∈ℕ:n>y･z⁻¹(同値変形)
∀x∈ℝ∃n∈ℕ:n･x>y(乗法律)
¬(∃x∈ℝ:x<n,∀n∈ℕ:n≦x)→∀x∈ℝ∃n∈ℕ:n･x>y(→導入)…②

アルキメデスの性質と上界は同値。