√2はどこにいるの
加法律引用WIIS
乗法律引用WIIS
全順序集合引用WIIS
実数の定義引用WIIS
無理数をやっているとたどり着く疑問。
非循環の無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。
有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、垂直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は1の次であり3の前。あるいは1.9の次でありの2.1の前。
しかし無理数は無限桁、かつ非循環なので、その位置を具体的にはイメージできません。
常識的に考えれば二乗して2になるのだから、1と2の間にあるのは自明ですが、√2が謎の挙動を起こさない保証はあるのか、と。
僕のパラノイアが発動しています。
正確な位置を割り出すことは無限桁の性質上は、仮に無理数をそう仮定するならですが、不可能なはずなので、恐らくは両隣の有理数と比較して、おおよその位置を予想しているはずと推理できます。
微分のようなイメージです。
一つ、思いついた方法を試してみます。
x<y(仮定)
x-x<x-x(加法律)
0<y-x(加法逆元)
x<y⇒0<y-x①
0<x<y,0<z(仮定)
0<z(y-x)(①と乗法律)
0<zy-xz(分配法則)
xz<zy(加法律)②
x≤y⇒x･x<≤y･y(②)
¬(x･x≤y･y)⇒¬(x≤y)(対偶)
(y･y)<(x･x)⇒(y<x)(≤定義)③
正の実数は√をとっても大小関係が保存されます。
1<2<4(有理数順序)
√1<√2<√4(③)
1<√2<2(x²定義)
√2は1と2の間にいます。
上の証明を敷衍すると
x<y⇒√x<√y
任意の正のx,yの√をとっても元の大小関係は保存されます。これで無理数のなんとなくの位置は掴めます。
無理数がどこにあるのか？が気になったのは、無理数がどんな風に分布しているのかを疑問に感じたから。
つまり、ある場所に密集するように遍在しているのか、それとも満遍なく分布しているのか。無理数は目には映りませんから。数直線では分布の仕方は判断できません。
よって、次は具体的に無理数の位置を調べる方法を考えます。ヒントになったのはデデキント切断。
有理数a,bの中間点はa+b/2である性質を用います。
(1+2)/2=1.5
となります。
1.任意の有理数a,bで無理数を挟み込む
2.半分にする
3.実数は完備かつ三分な関係なので有理数と比較した場合は(a+b/2<x)∨(x<a+b/2)のいずれかになる
4.3の無理数が含まれる区間を選び、さらに2分割
上を繰り返してaとbの差を縮めていけば有理数の差は0に収束します。つまり、無理数が存在するならその無理数に収束するはずです。
もっと効率の良い方法で無理数の位置を割り出しているのかもしれませんが、現時点で僕が思いつくやり方はこれ。
具体的には
1<2<4⇒√1<√2<√4(③)
1.5²=2.25(x²定義)
√2²=2(x²定義)
1²<2<2.25⇒<1<√2<1.5(③)
1+1.5/2の中間点1.25。
三分律より
(√2<1.25)∨(1.25<√2)
1.5625<2⇒1.25<√2(③)
より
1.25<√2<1.5
となります。
これを繰り返せば√2に近似する有理数が導けます。
現時点ではこれしか思いつけず。
有理数の隣には無理数がいる
0<1<x<y<z(仮定1)
0<z⁻¹<y⁻¹<x⁻¹<1(乗法逆元と単位元)
大きな実数ほどその逆元は小さくなる。つまり分子を固定し分母を無限大へ飛ばせば0に近似する値が得られる。
√2/nは無理数×有理数なので無理数。nを大きくすれば0を近似します。
また、無理数+有理数=無理数。
従って任意の有理数xに√2/nを足せば無理数になります。
差の小さな有理数の区間a<x<bを任意に選んだとしても、その間には必ず無理数を作り出せます。
x-√2/n<x<x+√2/n<<y
よって任意の有理数の間には必ず無理数があります。
近似させることが真に一つの数学を表すのか6証明はできていなません。中学か高校の曖昧な知識だけで考えていますので、断言は難しいのですが、仮に一点に収束すると言いきれるのなら、既述の方法で無理数は特定されます。無理数が密集していても無限に近似すればよいだけです。従って、任意の無理数は有理数で挟み込めます。
ひとまずはこれで納得しておきます。
コメント
≪…√2はどこにいるの…≫は、［円］の『コンコン物語』で・・・
コンコン物語（円環の１２等分 1 2 3 4 5 ６ 7 ８ 9 10 11 ）
場面 0 キャンパスにわけのわからないモノがあるとす
る。 （「地」と「形」）
場面 1 これに［コン］と呼びかけると、輪（円周）と
点が生まれる。（線路と回転軸）
場面 2 円周に［コンコン］と呼びかけると、円周を2
等分し、それを直線で繋ぐと2等分線分になっ
ている。円周を2等分する停車場（1 7）
場面 3 円周に［コンコンコン］と呼びかけると、円周
を3等分し、それを直線で繋ぐと正三角形の
先祖（原始）が生まれる。円周を3等分する
停車場（1 5 9）
場面 4 円周に［コンコンコンコン］と呼びかけると、
円周を4等分し、それを直線で繋ぐと正四角
形の先祖（原始）が生まれる。円周を4等分
する停車場（1 4 7 10）
場面 5 原始正三角形を、場面 2 の円周の2等分に
回すと、ながしかくが生れる。（原始正三角
形の頂点1を停車場7に合わせる。）
ながしかくの停車場（3 5 9 10）
場面 6 ながしかくを、場面 2 の直径で4等分にす
ると、辺1の正三角形が二つと辺1の二等辺三
角形が生まれ、同じ大きさの4個が生まれる。
場面 7 ながしかくは、原始正三角形の頂点1を、場面
4 の停車場（4 10）とで止めると辺1の正
四角形（正方形）が生まれる。
広さ（1×1＝1）も生む。
この操作は、場面 4 の原始正四角形を2等
分して広さ（1×1＝1）も生し、場面 6 の
辺1の正三角形の一部で後にでてくる針形の
半分になる。この半分は、広さ（1×1＝1）と
直径と半径との線分を［半分こ］で結び付けて
いる。
場面 8 場面 6 のながしかくは、原始正三角形の停
車場（1 5 9）と停車場（7）とで生れる
凧形に、場面 6 の同じ大きさの4個で生ま
れ変わる。
凧形と原始正四角形の半分個の不等辺直角三角形と等辺
直角三角形の斜辺（直径）が結びついて数の言葉ヒフミヨが生まれている。
特に、不等辺直角三角形から凧形への斜辺（直径）での結び付は、裏返し（でんぐり返り）の結合になるコトに演算符号の（-1）がヒントになる。
場面 6 の辺1の正三角形と 場面 7 の辺1の正四角形の中の等辺三角形か造る菱形（針形）で円周の12等分の停車場（1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11）を停車場（1）から一周するコトは、半径1を12等分する操作（計算）になる。
原始正三角形のモツ要因（円周の3等分の操作 点（頂点）三つ 線分（辺）三つ 三つの等辺三角形ができている）が、場面 5 での原始正三角形とながしかくとの関係からは、ながしかくのモツ要因（円周の等分操作 点（頂点）四つ 線分（辺）四つ 四つの同じ広さの（原始正三角形と共有する等積三角形できている）コトは、3の次の4へとなっている。
円周の等分操作は、 場面 3 の円周の3等分の操作と 場面 4 の円周の4等分の共有する円周の等分操作として、3×4＝12の等分停車区間（1～2～3～4～5～6～7～ 8～9～10～11～12～1）が生れているのは円周と半径（線分）との操作（計算）になっているコトになる。
自然数の1 2 3 4 が、個数 順番（操作） 広さ（面積）などが、円周の12等分として眺められ、その操作の道しがらで四角形と三角形の行き来に［半分こ］や［でんぐり返り］でたどれ、円を一周するコトが［1］の一切として岡潔の［光明］（数は、量の影）とする。
［コンコン］の語感は円から直線を造る感覚で、「グルグル］の語感はカタチ（三角形 四角形）から円を造る感覚になる。
辺1の正四角形（正方形）を12分割の3刻みで4回進める（回す）と正方形の各頂点を経由して元に戻る。
これが、自然数と（-1/12）（＋1/12）（i⁴＝1）（i²＝-1）の風景か・・・
絵本「みどりのとかげとあかいながしかく」の［ながしかく］は、
ｘｙ＝1×1 ｙ＝1/ｘ の
縦（1/ｘ）横（ｘ）の［ながしかく］として観ると自然数の姿（？）に・・・