引用WIIS
実数の定義引用WIIS
乗法律
加法律
無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。
ホントかよと。
散歩中にその証明を閃きました。
任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。
準備
0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)①
①は加法律から導出できる加法の性質。
乗法逆元の性質
0<1<x(仮定)
1･x⁻¹<x･x⁻¹(①)
x⁻¹<1(乗法単位元)
0<1<x⇒x⁻¹<1(含意)
実数xが1より大きいなら、その乗法逆元は1より小さくなることが保証されます。
乗法の大小関係の保存性質
0<x<y<z(仮定)
0<x(z-y)(仮定2と①と乗法律)
0<xz-xy(分配法則)
xy<xz(加法逆元)
0<x<y<z⇒xy<xz(含意)※1
実数乗法においては、大小関係を保存する規則があります。
上の性質を用いて次の性質を導きます。
実数の乗法の大小関係
1<x<y(仮定)
y⁻¹･x<y⁻¹･y(※1)
y⁻¹･x<1(乗法逆元)
y⁻¹･x ･x⁻¹<1･x ⁻¹(※1)
y⁻¹･1<x⁻¹(乗法逆元と単位元)
y⁻¹<x⁻¹(乗法単位元)
x<y⇒y⁻¹<x⁻¹(含意)
正のx<y実数の乗法逆元はその大小関係が逆転します。
敷衍すると
x<y<z⇒z⁻¹<y⁻¹<x⁻¹
であり、大きい実数ほどその乗法逆元は小さくなります。
以上をまとめると
1より大きな実数xの乗法逆元は1より小さい。
1より大きな実数の大小関係は乗法によって崩れない。
1より大きな実数の大小関係は逆元において逆転する。
さらにまとめると、分子xを正で固定して分母yを大きくしていけばx/yは0へ近づいて行く。
無理数は無限にある
無理数が無限個あることは以前証明しました。
無理数+無理数=無理数
無理数+有理数=無理数
かつ、実数加法は一意なので、√2を固定して有理数を適当に選んでしまえば、加法により無限個の無理数を創れます。
任意の有理数xと無理数yの積は無理数であり、かつxを0へ近づければ、その積をどこまでも小さくできます。
すなわち、テキトーに無理数をとってきて、限りなく大きな有理数の除法を作用させてやれば、限りなく0に近い無理数を創造できます。
従って、どれだけ差の小さなx<yの有理数を選んだとしても
x<x+ε<y
を論理的に構成することができます。
εは小さな無理数なので、x+εは無理数になります。
すなわち、任意の有理数の間には必ず無理数を創造できます。
また、無理数+無理数=無理数なので、有理数の間にギチギチに無理数を敷き詰めることができます。
散歩中の閃きをざっと書き出しただけなので、もしかしたら矛盾しているところがあるかもしれませんので悪しからず。
補足
無理数+無理数=無理数
と書きましたが
有理数+無理数=無理数
無理数-無理数=有理数
もあり得る。
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