有理数×無理数=無理数

有理数の加法と乗法の閉性より
有理数×有理数=有理数
有理数+有理数=有理数
となります。

有理数×無理数=有理数
だと仮定します。
無理数=有理数/有理数
以上は有理数の演算が閉じている要請を満たしていません。矛盾します。背理法により¬有理数を導出できます。

実数は有理数か無理数に分類されます。
¬有理数=無理数
有理数×無理数=¬有理数
有理数×無理数=無理数
となるので有理数と無理数の演算は無理数となります。

有理数+無理数=無理数

任意の有理数をx、無理数をy、zを有理数、x+y=z、有理数+無理数=有理数、と仮定し、その矛盾を導き背理法により有理数+無理数=無理数を証明します。

x+y=z(前提)
y=z-x(乗法律と加法逆元)

仮定より、xは有理数、zも有理数、yは無理数。有理数は加法と減法において閉じているので、x+zは有理数。等号が成り立たず矛盾します。

よって
有理数+無理数=無理数

逆元

これも上と同じようにxを有理数、yを無理数、zを有理数として矛盾を導きます。

x×y=z(前提)
y=z･x⁻¹(乗法律と乗法単位元)

有理数の除法は閉じているので右辺は有理数。仮定より左辺は無理数。
等号が成り立たず矛盾します。

よって背理法により
有理数×無理数=無理数
が証明されました。