マイナス×プラス=マイナス

暇つぶしに見て

2025.04.23

プラス+プラス=プラス

「正の数と正の数の和が正の数になる」は感覚的には自明な主張です。しかし、確かめてみることは大切です。証明します。

0≤x,y(仮定)
0≤x⇒x+0(単位元)
x+0≤x+y(加法律と仮定)
0≤x=x+0≤x+y(≤推移律)
0≤x+y(≤推移律)
0≤x,y⇒0≤x+y(含意)①

プラス+プラス=プラスの証明完了。

別で証明した定理「0≤x⇒-x≤0」を用いて上の定理を変形すればマイナス+マイナス=マイナス。

諸々の性質と合わせた場合は

0≤x,y⇒0≤x+y
x,y≤0⇒x+y≤0
x≤y⇒x-y=x+(-y)≤0
y≤x⇒0≤x+(-y)=x-y

感覚的には自明な推論は定義から導けます。これ気持ちがいい。

0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。

0≤x,y(仮定)
x･0≤x･y(②と定義)
0≤x･y(乗法律)
-1･0≥-1･(x･y)(①)
(-1)･0≥(-1･x)･y(結合法則)
0≥(-x)･y(②と逆元)
0≤x,y⇒0≥(-x)･y(含意)

マイナス×プラスはマイナス。