有理数+無理数=無理数

見出しの証明。

任意の有理数をx、無理数をy、zを有理数、x+y=z、有理数+無理数=有理数、と仮定し、その矛盾を導き背理法により有理数+無理数=無理数を証明します。

x+y=z(前提)
y=z-x(移項)

仮定より、xは有理数、zも有理数、yは無理数。有理数は加法と減法において閉じているので、x+zは有理数。等号が成り立たず矛盾します。

よって
有理数+無理数=無理数

有理数×無理数=無理数

これも上と同じようにxを有理数、yを無理数、zを有理数として矛盾を導きます。

x×y=z(前提)
y=z/x(除法)

有理数の除法は閉じているので右辺は有理数。仮定より左辺は無理数。
等号が成り立たず矛盾します。

よって背理法により
有理数×無理数=無理数
が証明されました。