有理数は循環小数
見出しの証明。
有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
すなわち、
Q={ab∣a,b∈Z,b≠0}
有理数は整数x,yで表現される比x/y。
循環小数は、1/3など、0.3333…と小数点以下が無限に循環する数。
4/2は2.000000…と捉えれば循環小数。割った余りが0の場合は、0が無限に続く循環小数とみなすことができる①。
次に1以上の場合。
1/3を考える。計算すると、常に1が余ります。そして、その余りは常に3より小さくなります。
①を踏まえると、x/yの余りaは常に
1≤a<y
つまり1を3で割れば、余りは常に3よりは小さいよね、と。論理的に。
1を3で割ると、余りは1から2が繰り返される形になります。
また、余りの幅3桁を切り取ると、取りうる値は2つだけなので、1から2のいずれかが必ず重複します。
同じ値を同じ値で割ると論理的に常に”同じ商と余り”が出てきます。
すなわち、論理的同じことを繰り返す、ということは構造的な循環な起こるということ。x/yは必ずy桁以下で同じことの繰り返しが起こります。
従って有理数は循環小数になります。
√2の無理数性
√2が無理数であることの証明は今の僕には難しそうなので、背理法を用いて√2が有理数であるという仮定をし、その矛盾を導いて√2が無理数であることを証明します。
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり整数の比（英: ratio）（分数）で表すことのできない実数のことである。
有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり整数の比（英: ratio）（分数）で表すことのできない実数のことである。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、無理数は非可算個あり、ほとんど全ての実数は無理数である。
偶数は定義上は偶数で割れます。つまり、有理数の分子分母のいずれもが偶数であるのなら、それは約分が可能です。限界まで約分するなら、それらのいずれかは必ず奇数となります①。
また、√2を有理数と仮定します。√2=x/y②
①②より、xとyのいずれかは必ず奇数です。
整数の乗法と加法は閉じているので、任意の整数の整数倍は整数です。かつ、定義上、偶数の整数倍は偶数です。
つまり、偶数は二乗しても整数かつ偶数です。
一方で奇数は2乗すると奇数。
(2n)²=4n²=2×2n²=2a
(2n+1)²=4n²+2n +1²=2(2n ²+n )+1=2a+1
aを整数と仮定。
仮定②の式の両辺にyをかけて二乗します。
2y²=x²
左辺は整数yの整数倍、すなわち整数であり、かつその二倍なので偶数です。
同値関係から右辺が偶数であることが言えます。二乗して偶数になる整数は偶数。よってxは偶数。
xが偶数なら、x²は少なくとも4の倍数。
2y²=4a
y²=2a(約分)
2乗して偶数。
従ってyは偶数。
x=偶数,y=偶数
となり仮定①と矛盾します。
よって、背理法により√2は有理数ではない、すなわち無理数であることが証明されました。
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